a: Xét ΔHAD vuông tại H có HA=HD

nên ΔHAD vuông cân tại H

=>\(\hat{HDA}=\hat{HAD}=45^0\)

Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

\(\hat{DCE}\) chung

Do đó: ΔCDE~ΔCAB

=>\(\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}\)

=>\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)

Xét ΔCDA và ΔCEB có

\(\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}\)

góc DCA chung

Do đó: ΔCDA~ΔCEB

=>\(\hat{CDA}=\hat{CEB}\)

mà \(\hat{CDA}+\hat{ADB}=180^0\) (hai góc kề bù)

và \(\hat{CEB}+\hat{AEB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AEB}=\hat{ADB}=45^0\)

=>ΔABE vuông cân tại A

=>AB=AE

b: ΔABE cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM⊥BE tại M

Xét ΔBMA vuông tại M và ΔBAE vuông tại A có

\(\hat{MBA}\) chung

Do đó: ΔBMA~ΔBAE

=>\(\frac{BM}{BA}=\frac{BA}{BE}\)

=>\(BM\cdot BE=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BM\cdot BE=BH\cdot BC\)

=>\(\frac{BM}{BC}=\frac{BH}{BE}\)

Xét ΔBMH và ΔBCE có

\(\frac{BM}{BC}=\frac{BH}{BE}\)

góc MBH chung

Do đó: ΔBMH~ΔBCE

=>\(\hat{BMH}=\hat{BCE}=\hat{HAB}\)

Gọi I là giao điểm của MB và AH

Xét ΔIMH và ΔIAB có

\(\hat{IMH}=\hat{IAB}\)

\(\hat{MIH}=\hat{AIB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIMH~ΔIAB

=>\(\hat{IHM}=\hat{IBA}=45^0\)

=>\(\hat{AHM}=45^0\)

a) Xét 2 tam giác BME và tam giác AHC 

có \(\widehat{BME}=\widehat{AHC}=90^0\)

\(\widehat{ABC}chung\)

nên 2 tam giác BME và tam giác AHC đồng dạng với nhau

b)

xét tam giác ABH

có AE là phân giác của góc BAH

nên \(\widehat{MAE}=\widehat{HAE}\)

có \(\widehat{MAE}+\widehat{CAE}=90^0\)

\(\widehat{HAE}+\widehat{CEA}=90^0\)

suy ra \(\widehat{CAE}=\widehat{CEA}\)do đó tam giác AEc cân tại C

c)

xét tam giác AHC có 

AD là tia phân giác của góc HAC

nên \(\frac{HD}{CD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AH\cdot CD=DH\cdot AC\)

lại có AC = EC

nên \(AH\cdot CD=EC\cdot AC\)

d)

chứng minh tương tự câu b

ta có tam giác ABD cân tại B

suy ra AB = BD

mà AC = EC

nên AB + AC  = BD + EC = BD + CD + ED = BC + DE

Mk sửa rồi đấy

chịu :))
 

A B C E D M H G

b) Chứng minh tam giác BEC đồng dạng tam giác ADC

Xét \(\Delta CAB\)và \(\Delta CDE\) có:

^CAB = ^CDE (=1v)

^C chung 

=>  \(\Delta CAB\)~\(\Delta CDE\)

=> \(\frac{CB}{CE}=\frac{CA}{CD}\) (1) 

Xét \(\Delta CAD\)và \(\Delta CBE\)có:

\(\frac{CB}{CE}=\frac{CA}{CD}\)( từ (1))

và \(\widehat{C}\)chung

=>  \(\Delta CAD\)~ \(\Delta CBE\)

c) Chứng tam giác ABE vuông cân.

+) Ta có: AB \(\perp\)AC (\(\Delta\)ABC vuông )

mà E \(\in\)AC

=> AB \(\perp\)AE => \(\Delta\)ABE vuông  

+) Theo (a) =>   ^DAC = ^EBC  

Gọi N là giao điểm của AD và BE 

Xét \(\Delta\)DNB và  \(\Delta\)ENA có:

^ENA = ^DNB ( đối đỉnh)

^NBD = ^NAE (    vì ^DAC = ^EBC )  

=>  \(\Delta\)DNB ~  \(\Delta\)ENA  

=> ^NDB = ^NEA  

Xét  \(\Delta\)ABE và  \(\Delta\)HAD có:

^AEB = ^HDA ( vì ^NDB = ^NEA  )  (1)

^^BAE = ^AHD ( =1v)

=>   \(\Delta\)ABE ~  \(\Delta\)HAD

=> ^HAD = ^ ABE  (20

mà \(\Delta\)AHD có: AH=HD => \(\Delta\)AHD cân => ^HAD =^ HDA (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => ^ABE =^BEA =>\(\Delta\)ABE cân 

Vậy \(\Delta\) ABE vuông cân tại A

d) Ta có: M là trung điểm BE => AM là đường trung tuyến \(\Delta\)ABE mà \(\Delta\)ABE vuông cân tại A

=> AM là đường phân giác ^A của \(\Delta\)ABE

=> AG là đường phân giác ^A của \(\Delta\)ABC

Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{GB}{GC}=\frac{AB}{AC}\)

Mà \(\Delta\)ABH  ~\(\Delta\)CAH ( dễ tự chứng minh)

=> \(\frac{AB}{CA}=\frac{AH}{CH}\)

=> \(\frac{GB}{GC}=\frac{AH}{CH}\Rightarrow\frac{GB}{AH}=\frac{GC}{CH}=\frac{GB+GC}{AH+CH}=\frac{BC}{AH+CH}\)( tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\frac{GC}{BC}=\frac{AH}{AH+CH}=\frac{DH}{AH+CH}\)( vì AH=DH)

(tớ mới giải được câu a)

Xét tam giác AHB và CHA => AH/CH = HB/AH mà AH=HD => tỉ số đồng dạng

a: ΔABC vuông cân tại A

=>AB=AC và \(\hat{ABC}=\hat{ACB}=45^0\)

Xét ΔHAB vuông tại H có \(\hat{HBA}=45^0\)

nên ΔHAB vuông cân tại H

=>HA=HB

Xét ΔAHC vuông tại H có \(\hat{HCA}=45^0\)

nên ΔAHC vuông cân tại H

=>HA=HC

Xét ΔHDA và ΔHDB có

HD chung

\(\hat{DHA}=\hat{DHB}\)

HA=HB

Do đó: ΔHDA=ΔHDB

=>\(\hat{HDA}=\hat{HDB}\)

mà \(\hat{HDA}+\hat{HDB}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{HDA}=\hat{HDB}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>HD⊥AB tại D

Xét ΔHEA và ΔHEC có

HE chung

\(\hat{EHA}=\hat{EHC}\)

HA=HC

Do đó; ΔHEA=ΔHEC

=>\(\hat{HEA}=\hat{HEC}\)

mà \(\hat{HEC}+\hat{HEA}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{HEA}=\hat{HEC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

=>HE⊥AC tại E

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ΔHDA=ΔHDB

=>DA=DB

=>D là trung điểm của AB

ΔHEA=ΔHEC

=>EA=EC

=>E là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điêm cua AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC