Ta có:\(2n^4+3n^2+1=\left(n^2\right)^2+2n^21^2+1^2+\left(n^4+n^2\right)=\left(n^2+1\right)^2+n^2\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n^2+1\right)\left(2n^2+1\right)\)

Vì \(\left(n^2+1\right)\left(2n^2+1\right)\)mà \(2n^2+1\ge n^2+1\)

\(\Rightarrow2n^2+1⋮n^2+1\)

\(\Rightarrow2n^2+2-1=2\left(n^2+1\right)-1⋮n^2+!\)

\(\Rightarrow-1⋮n^2+1\)

Mà \(n^2+1>0\)

\(\Rightarrow n^2+1=1\Rightarrow n=0\)

P=(n^4+n^3)+(n^3+n^2)+(n^2+n)+(n+1)

P=n^3(n+1)+n^2(n+1)+n(n+1)+(n+1)

P=(n^3+n^2+n+1)(n+1)

P=[(n^3+n^2)+(n+1)](n+1)

P=[n^2(n+1)+(n+1)](n+1)

P=[(n^2+1)(n+1)](n+1)

P=(n^2+1)(n+1)^2

Mà P là số chính phương , (n+1)^2 là số chính phương

=> n^2+1 là số chính phương

=> n^2+1=a^2(a là số nguyên)

=> n^2-a^2=-1

=>(n+a)(n-a)=-1

mà n là số tự nhiên, a là số nguyên=> n+a,n-a là số nguyên

=> n+a=-1 ; n-a=1 hoặc n+a=1; n-a=-1

=> n=0; a=-1 hoặc n=0; a=1

Vậy n=0

\(-2n+9\) là số nguyên tố

\(\Rightarrow\)\(-2n+9>0\)

\(\Rightarrow\)\(2n< 9\)

\(\Rightarrow\)\(n< 4,5\)

do  \(n\in N\) \(\Rightarrow\)\(n=\left\{1,2,3,4\right\}\)

Với  \(n=1\)\(\Rightarrow\)\(2n+1=3\) ko phải số chính phương   (loại)

Với  \(n=2\)\(\Rightarrow\)\(2n+1=5\)ko phải số chính phương    (loại) 

Với  \(n=3\)\(\Rightarrow\)\(3n+1=10\)ko phải số chính phương    (loại) 

Với  \(n=4\) \(\Rightarrow\)\(3n+1=13\)ko phải số chính phương    (loại) 

Vậy ko tìm đc  \(x\in N\)thỏa mãn:  2n+1;  3n+1  là số chính phương  và   -2n+9   là số nguyên tố

bài khó à nha

ko dễ

Đặt: n⁴ + 2n³ + 2n²+ n + 7 = k² (k \(\in\)N)

<=> (n² + n)² + (n² + n) + 7 = k²

<=> 4(n² + n)² + 4(n² + n) + 28 = 4k²

<=> 4k² - (2n² + 2n + 1)² = 27

<=> (2k - 2n² - 2n - 1)(2k + 2n² + 2n + 1) = 27

Do 2k + 2n² + 2n + 1 > 2k - 2n² - 2n - 1

Lập bảng

 (tự tính)