Tham khảo bài tương tự nhé !

Ta đặt biểu thức trên là S 
Ta có S = 3 x (1 + 3^2 + 3^4 + 3^6 + ... + 3^1990) = 3 x P 
Chứng mình S chia hết cho 13 và 41 tương đưong với chứng mình P chia hết cho 13 và 41 

P có 996 số hạng 

Nhóm P thành từng bộ 3 số hạng 
P = 1 + 3^2 + 3^4 + 3^6 + ... + 3^1990 
= (1 + 3^2 + 3^4) + 3^6 x (1 + 3^2 + 3^4) + ... + 3^1986 x (1 + 3^2 + 3^4) 
= (1 + 3^2 + 3^4) x (1 + 3^6 + 3^12 + ... + 3^1986) 
= 91 x (1 + 3^6 + .... + 3^1986) 
Do 91 chia hết cho 13 nên P cũng chia hết cho 13 

Nhóm P thành từng bộ 4 số hạng và làm tương tự ta cũng có: 
P = (1 + 3^2 + 3^4 + 3^6) x (1 + 3^8 + 3^16 + ... + 3^1984) 
= 820 x (1 + 3^8 + 3^16 + ... + 3^1984) 
Do 820 chia hết cho 41 nên P cũng chia hết cho 41 

*(a^n-1)=(a-1)(1+a+a^2+..+a^(n-1)) 

=>1+a+a^2+...+a^(n-1)=(a^n-1)/(a-1) 

*a^(n.m)=(a^n)^m. 
Ta có: 
S=3+3^3+...+3^1991= 
=3(1+3^2+3^4+...+3^1990) 
=3(1+9+9^2+...+9^995) 
=3(9^996-1)/8 
=3P/8. 
với P=9^996-1. 
vì 13 và 8 là 2 số ngyuên tố cùng nhau, tương tự 41 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau, nên ta chỉ cần cm P cha hết cho 13 và 41. 
a) ta có: 
P=9^996-1= 
=(3^2)^996-1 
=3^1992-1 
=(3^3)^664-1 
=27^664-1 
=(27-1)(1+27^2+...+27^663) 
=26(1+27^2+..+27^663) 
mà 26 chia hết cho 13, nên P chia hết cho 13. 
b)ta lại có: 
P=9^996-1= 
=(9^4)^249-1 
=6561^249-1 
=(6561-1)(1+...+6561^248) 
=6560(1+6561+...+6561^248) 
thấy 6560 chia hết cho 41 nên P chia hết cho 41. 
Với cách này ta còn cm được S chia hết cho rất nhiều số khác nữa.

    A = 2 + 2² + 2³ +......+ 2⁶⁰

-> A = ( 2 + 2² ) + ( 2³ + 2⁴ ) + ....+ ( 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

-> A = 2.( 1+2 ) + 2³.( 1+2) +......+ 2⁵⁹.( 1+2)

-> A = 2.3 + 2³.3 +......+ 2⁵⁹.3

-> A= 3.( 2 + 2³ +.....+ 2⁵⁹)

      Vì 3 chia hết cho 3

-> 3.( 2 + 2³ +...+2⁵⁹⁾

      Vậy  A chia hết cho 3

   A = 2 + 2²  + 2³ +.......+ 2⁶⁰

-> A = ( 2 + 2² + 2³ ) +.......+ ( 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

-> A = 2.( 1 + 2 + 2² ) +......+  2⁵⁸ .( 1 + 2 + 2² )

-> A = 2.7 +.....+ 2⁵⁸.7

-> A = 7.( 2 + .....+ 2⁵⁸ )

      Vì 7 chia hết cho 7

-> 7.( 2+....+ 2⁵⁸ )

     Vậy A chia hết cho 7

    A = 2 + 2² + 2³ +......+ 2⁶⁰

-> A = ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) +.....+ ( 2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰ )

-> A = 2.( 1 + 2 + 2² + 2³ ) +.....+ 2⁵⁷.( 1+ 2 + 2² + 2³ )

-> A = 2.15 + ......+ 2⁵⁷.15

-> A = 15.( 2 +.... + 2⁵⁷ )

     Vì 15 chia hết cho 15

-> 15.( 2 +....+ 2⁵⁷ )

     Vậy A chia hết cho 15

A

52ab chia hết cho 2=>b thuộc{0;2;4;6;8}  (1)

52ab chia hết cho 5 => b thuộc {4;9}       (2)

Từ (1) ,(2) => b=4

52ab chia hết cho 9 =>5+2+a+b chia hết cho 9=> 5+2+a+4 chia hết cho 9=>a thuộc {7}

\(B=3^2+3^3+3^6+.....+3^{60}\)

\(\Rightarrow3^2B=3^4+3^6+3^8+.....+3^{62}\)

\(\Rightarrow9B-B=\left(3^4+3^6+.....+3^{62}\right)-\left(3^2+3^4+....+3^{60}\right)\)

\(\Rightarrow8B=3^{62}-3^2\)

\(\Rightarrow B=\frac{3^{62}-3^2}{8}\)