\(a,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\)( BĐT cô-si dạng engel)

\(\frac{4}{2+a+b}\le\frac{4}{2+2\sqrt{ab}}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}=VP\)(bđt tương đương)

vậy cả hai bđt dấu "=" xảy ra đồng thời

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}\\a=b=1\end{cases}}\)

vậy \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi \(a=b=1\)

\(b,\)\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi bđt cô -si không xảy ra dấu bằng

và bđt tương đương xảy ra dấu bằng

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}>\frac{4}{2+a+b}\\4+4\sqrt{ab}=4+2a+2b\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}4+a^2+b^2+4a+4b+2ab>4+4a+4a+4ab\\2\sqrt{ab}=a+b\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2>2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)

\(0>2ab\)

\(ab< 0\)

rồi chia ra từng TH 

ra đc \(TH1:\hept{\begin{cases}a< 0\\b>0\end{cases}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}a>0\\b< 0\end{cases}}\)

\(c,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi 

bđt cô- si dạng engel lớn hơn hoặc bằng còn bđt tương đương thì dấu bằng xảy ra

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)

\(< =>0\ge2ab\)

vì đề bài cho \(a,b>0\)lên dấu bằng không xảy ra

vậy không có giá trị a,b nào thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)

câu d lập luận như các câu trên cậu làm nốt nha

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

        \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

b)  Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}}=2\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

\(\sqrt{1+x^2}\text{ có nghĩa khi :}\)

\(1+x^2\ge0\)

mà \(1+x^2>0\text{ với mọi x nên:}\)

Với mọi x căn thức đều có nghĩa

\(A=x^2+\frac{4}{x^2+1}\)   

\(=x^2+1+\frac{4}{x^2+1}-1\)   

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương x^2 + 1 và 4 / x^2 + 1

\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right)\cdot\frac{4}{x^2+1}}\)   

\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}\ge4\)   

\(x^2+1+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)   

\(A\ge3\)   

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 

\(x^2+1=\frac{4}{x^2+1}\)   

\(\left(x^2+1\right)^2=4\)   

\(\orbr{\begin{cases}x^2+1=2\\x^2+1=-2\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}x^2=1\\x^2=-3\left(sai\right)\end{cases}}\)   

\(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)   

Vậy A > 3 khi x khác 1 và - 1 

A = 3 khi x = 1 hay x = - 1 

A < 3 vô nghiệm 

Đề vậy làm sao hiểu được đây bạn?

\(2x+8\sqrt{x}-2=2\left(x+4\sqrt{x}-1\right)=2\left(x+4\sqrt{x}+4-5\right)=2\left(\sqrt{x}+2\right)^2-10\)Vì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+2\ge2\Rightarrow\left(\sqrt{x}+2\right)^2\ge4\Rightarrow2\left(\sqrt{x}+2\right)^2\ge8\Rightarrow2\left(\sqrt{x}+2\right)^2-10\ge-2\)Vậy biểu thức này có GTNN bằng -2 khi x=0