ĐKXĐ của A là x>=0; ĐKXĐ của B là x>=0; x<>4

a: Thay x=25 vào A, ta được:

\(A=\frac{\sqrt{25}-2}{\sqrt{25}+2}=\frac{5-2}{5+2}=\frac37\)

b: \(B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}+\frac{10}{\sqrt{x}-2}+\frac{4}{x-4}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+10\left(\sqrt{x}+2\right)+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{x+\sqrt{x}-6+10\sqrt{x}+20+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x+11\sqrt{x}+18}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+9\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}-2}\)

\(P=A\cdot B=\frac{\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}-2}\cdot\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}+2}\)

c: A=-0,5

=>\(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{-1}{2}\)

=>\(2\left(\sqrt{x}-2\right)=-\sqrt{x}-2\)

=>\(2\sqrt{x}-4=-\sqrt{x}-2\)

=>\(3\sqrt{x}=2\)

=>\(\sqrt{x}=\frac23\)

=>\(x=\frac49\) (nhận)

d: B>1

=>B-1>0

=>\(\frac{\sqrt{x}+9-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}>0\)

=>\(\frac{11}{\sqrt{x}-2}>0\)

=>\(\sqrt{x}-2>0\)

=>\(\sqrt{x}>2\)

=>x>4

e: P-1

\(=\frac{\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}+2}-1=\frac{\sqrt{x}+9-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{7}{\sqrt{x}+2}>0\)

=>P>1

f: \(A-1=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}-1\)

\(=\frac{\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{-4}{\sqrt{x}+2}<0\)

=>A<1

g: \(\sqrt{A^2}=-A\)

=>|A|=-A

=>A<=0

=>\(\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\le0\)

=>\(\sqrt{x}-2\le0\)

=>\(\sqrt{x}\le2\)

=>0<=x<=4

h: Để A nguyên thì \(\sqrt{x}-2\) ⋮\(\sqrt{x}+2\)

=>\(\sqrt{x}+2-4\) ⋮\(\sqrt{x}+2\)

=>-4⋮\(\sqrt{x}+2\)

mà \(\sqrt{x}+2\ge2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
nên \(\sqrt{x}+2\in\left\lbrace2;4\right\rbrace\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\lbrace0;2\right\rbrace\)

=>x∈{0;4}

i: Để B là số nguyên dương thì \(\begin{cases}\sqrt{x}+9\vdots\sqrt{x}-2\\ \frac{\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}-2}>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\sqrt{x}-2+11\vdots\sqrt{x}-2\\ \sqrt{x}-2>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}11\vdots\sqrt{x}-2\\ \sqrt{x}-2>0\end{cases}\Rightarrow\sqrt{x}-2\in\left\lbrace1;11\right\rbrace\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\lbrace3;13\right\rbrace\)

=>x∈{9;169}

k: \(A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2-4}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{4}{\sqrt{x}+2}\)

\(\sqrt{x}+2\ge2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(\frac{4}{\sqrt{x}+2}\le\frac42=2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
=>\(-\frac{4}{\sqrt{x}+2}\ge-2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(-\frac{4}{\sqrt{x}+2}+1\ge-2+1=-1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>A>=-1∀x thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi x=0

m: P nguyên khi \(\sqrt{x}+9\vdots\sqrt{x}+2\)

=>\(\sqrt{x}+2+7\vdots\sqrt{x}+2\)

=>\(7\vdots\sqrt{x}+2\)

=>\(\sqrt{x}+2=7\)

=>x=25(nhận)

Giải:

a) Thay \(x = 25\) vào \(A\), ta có:
\(A = \frac{\sqrt{25} - 2}{\sqrt{25} + 2} = \frac{5 - 2}{5 + 2} = \frac{3}{7}\)

b) Rút gọn \(P = A \cdot B\)
\(B = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} + \frac{10}{\sqrt{x} - 2} + \frac{4}{x - 4} = \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 3 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) + 10 \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) + 4}{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}\)
\(B = \frac{x - 2 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} - 6 + 10 \sqrt{x} + 20 + 4}{x - 4} = \frac{x + 11 \sqrt{x} + 18}{x - 4}\)
\(B = \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} + 9 \left.\right)}{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right) \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)} = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 2}\)
\(P = A \cdot B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} + 2}\)

c) Tìm \(x\) để \(A = - 0.5\)
\(\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} = - 0.5 = - \frac{1}{2}\)
\(2 \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) = - \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)\)
\(2 \sqrt{x} - 4 = - \sqrt{x} - 2\)
\(3 \sqrt{x} = 2\)
\(\sqrt{x} = \frac{2}{3}\)
\(x = \left(\left(\right. \frac{2}{3} \left.\right)\right)^{2} = \frac{4}{9}\)

d) Tìm \(x\) để \(B > 1\)
\(B = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 2} > 1\)
\(\frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 2} - 1 > 0\)
\(\frac{\sqrt{x} + 9 - \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right)}{\sqrt{x} - 2} > 0\)
\(\frac{11}{\sqrt{x} - 2} > 0\)
Vì \(11 > 0\) nên \(\sqrt{x} - 2 > 0\)
\(\sqrt{x} > 2\)
\(x > 4\)

e) So sánh \(P\) với 1
\(P = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} + 2}\)
\(P - 1 = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} + 2} - 1 = \frac{\sqrt{x} + 9 - \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}{\sqrt{x} + 2} = \frac{7}{\sqrt{x} + 2} > 0\)
Vậy \(P > 1\)

f) Chứng minh \(A < 1\)
\(A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}\)
\(A - 1 = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} - 1 = \frac{\sqrt{x} - 2 - \left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)}{\sqrt{x} + 2} = \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2} < 0\)
Vậy \(A < 1\)

g) Tìm \(x\) để \(\sqrt{A^{2}} = - A\)
\(\sqrt{A^{2}} = \mid A \mid\). Vậy \(\mid A \mid = - A\) khi và chỉ khi \(A \leq 0\).
\(A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \leq 0\)
Vì \(\sqrt{x} + 2 > 0\) nên \(\sqrt{x} - 2 \leq 0\)
\(\sqrt{x} \leq 2\)
\(x \leq 4\)
Kết hợp với điều kiện \(x \geq 0 , x \neq 4\), ta có \(0 \leq x < 4\)

h) Tìm \(x\) nguyên để \(A\) nguyên
\(A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 2 - 4}{\sqrt{x} + 2} = 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 2}\)
Để \(A\) nguyên thì \(\frac{4}{\sqrt{x} + 2}\) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \(\sqrt{x} + 2\) là ước của 4.
Các ước của 4 là: 1, 2, 4.
\(\sqrt{x} + 2 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = - 1 \&\text{nbsp};(\text{lo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \sqrt{x} \geq 0 \left.\right)\)
\(\sqrt{x} + 2 = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0\)
\(\sqrt{x} + 2 = 4 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 \&\text{nbsp};(\text{lo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; x \neq 4 \left.\right)\)
Vậy \(x = 0\) thì \(A = - 1\) là số nguyên.

i) Tìm số tự nhiên \(x\) để \(B\) nguyên dương
\(B = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x} - 2 + 11}{\sqrt{x} - 2} = 1 + \frac{11}{\sqrt{x} - 2}\)
Để \(B\) nguyên dương thì \(\frac{11}{\sqrt{x} - 2}\) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \(\sqrt{x} - 2\) là ước của 11.
Các ước của 11 là: -11, -1, 1, 11
\(\sqrt{x} - 2 = - 11 \Rightarrow \sqrt{x} = - 9 \&\text{nbsp};(\text{lo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \sqrt{x} \geq 0 \left.\right)\)
\(\sqrt{x} - 2 = - 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow B = 1 + \frac{11}{1 - 2} = 1 - 11 = - 10 \&\text{nbsp};(\text{lo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; B > 0 \left.\right)\)
\(\sqrt{x} - 2 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9 \Rightarrow B = 1 + \frac{11}{3 - 2} = 1 + 11 = 12\)
\(\sqrt{x} - 2 = 11 \Rightarrow \sqrt{x} = 13 \Rightarrow x = 169 \Rightarrow B = 1 + \frac{11}{13 - 2} = 1 + 1 = 2\)
Vậy \(x = 9\) hoặc \(x = 169\) thì \(B\) là số nguyên dương.

k) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A\)
\(A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} = 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 2}\)
Để \(A\) nhỏ nhất thì \(\frac{4}{\sqrt{x} + 2}\) phải lớn nhất. Điều này xảy ra khi \(\sqrt{x} + 2\) nhỏ nhất.
Vì \(x \geq 0\) nên \(\sqrt{x} \geq 0\). Vậy \(\sqrt{x} + 2\) nhỏ nhất khi \(\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0\)
Khi đó, \(A = 1 - \frac{4}{0 + 2} = 1 - 2 = - 1\)
Vậy GTNN của \(A\) là -1 khi \(x = 0\).

m) Tìm \(x\) để \(P\) nguyên
\(P = \frac{\sqrt{x} + 9}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 2 + 7}{\sqrt{x} + 2} = 1 + \frac{7}{\sqrt{x} + 2}\)
Để \(P\) nguyên thì \(\frac{7}{\sqrt{x} + 2}\) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \(\sqrt{x} + 2\) là ước của 7.
Các ước của 7 là: 1, 7
\(\sqrt{x} + 2 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = - 1 \&\text{nbsp};(\text{lo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \sqrt{x} \geq 0 \left.\right)\)
\(\sqrt{x} + 2 = 7 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25 \Rightarrow P = 1 + \frac{7}{5 + 2} = 1 + 1 = 2\)
Vậy \(x = 25\) thì \(P\) là số nguyên.

n) Cho \(S = A \cdot \frac{x + 4 \sqrt{x} + 13}{\sqrt{x} - 2}\). Tìm GTNN của \(S\)
\(S = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{x + 4 \sqrt{x} + 13}{\sqrt{x} - 2} = \frac{x + 4 \sqrt{x} + 13}{\sqrt{x} + 2}\)
\(S = \frac{\left(\right. \sqrt{x} + 2 \left.\right)^{2} + 9}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} + 2 + \frac{9}{\sqrt{x} + 2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số...