a: MNBA là hình bình hành

=>MN//BA và MN=BA

MNCB là hình bình hành

=>MN//BC và MN=BC

MN//BA

MN//BC

mà BA,BC có điểm chung là B

nên A,B,C thẳng hàng

b: Ta có: MN=BA

MN=BC

Do đó: BA=BC

=>B là trung điểm của AC
c: Để MNCA trở thành hình thang cân thì \(\hat{MAB}=\hat{NCA}\)

mà \(\hat{MAB}=\hat{NBC}\) (hai góc đồng vị, NB//MA)

nên \(\hat{NCB}=\hat{NBC}\)

=>NC=NB

mà NC=MB

và NB=MA

nên MB=MA

d: MNDC là hình bình hành

=>MN//CD và MN=CD

MN//CD

MN//CA

mà CD,CA có điểm chung là C

nên D,C,A thẳng hàng

Để hình thang MNDA trở thành hình thang cân thì \(\hat{MAD}=\hat{NDA}\)

mà \(\hat{MAD}=\hat{NBC}\) (hai góc đồng vị, NB//MA)

nên \(\hat{NDA}=\hat{NBC}\)

=>\(\hat{NDB}=\hat{NBD}\)

=>ND=NB

mà NB=MA và ND=MC

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

Ta có: ΔMAC cân tại M

mà MB là đường trung tuyến

nên MB⊥AC tại B

=>\(\hat{MBA}=90^0\)

a: MNBA là hình bình hành

=>MN//BA và MN=BA

MNCB là hình bình hành

=>MN//BC và MN=BC

MN//BA

MN//BC

mà BA,BC có điểm chung là B

nên A,B,C thẳng hàng

b: Ta có: MN=BA

MN=BC

Do đó: BA=BC

=>B là trung điểm của AC
c: Để MNCA trở thành hình thang cân thì \(\hat{MAB}=\hat{NCA}\)

mà \(\hat{MAB}=\hat{NBC}\) (hai góc đồng vị, NB//MA)

nên \(\hat{NCB}=\hat{NBC}\)

=>NC=NB

mà NC=MB

và NB=MA

nên MB=MA

d: MNDC là hình bình hành

=>MN//CD và MN=CD

MN//CD

MN//CA

mà CD,CA có điểm chung là C

nên D,C,A thẳng hàng

Để hình thang MNDA trở thành hình thang cân thì \(\hat{MAD}=\hat{NDA}\)

mà \(\hat{MAD}=\hat{NBC}\) (hai góc đồng vị, NB//MA)

nên \(\hat{NDA}=\hat{NBC}\)

=>\(\hat{NDB}=\hat{NBD}\)

=>ND=NB

mà NB=MA và ND=MC

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

Ta có: ΔMAC cân tại M

mà MB là đường trung tuyến

nên MB⊥AC tại B

=>\(\hat{MBA}=90^0\)

a. Xét tam giác HCD cóHN=DN;HM=CM 

=> MN là đường trung bình của tam giác HCD => MN//DC

=> DNMC là hình thang

b. Ta có MN là đường trung bình của tam giác HCD => MN=1/2CD

Mà AB=1/2CD => AB =MN

Do MN//CD và AB//CD => AB//MN

Xét tứ giác ABMN có AB//MN; AB=MN

=> ABMN là hình bình hành

c.Ta có MN//CD mà CD vg AD

=> MN vg AD

Xét tam giác ADM có DH và MN là 2 đường cao của tam giác 

Mà chúng cắt nhau tại N nên N là trực tâm của tam giác ADM

=> AN là đường cao của tam giác ADM

=> AN vg DM

Do ABMN là hình bình hành nên AN//BM

=> BM vg DM => BMD =90*

a)  BD, CE là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)DA = DC;   EA =EB

\(\Rightarrow\)ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\)ED // BC;  ED = 1/2 BC

\(\Delta GBC\)có   MG = MB;   NG = NC

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta GBC\)

\(\Rightarrow\)MN // BC;   MN = 1/2 BC

suy ra:  MN // ED;    MN = ED

\(\Rightarrow\)tứ giác MNDE là hình bình hành

c) MN = ED = 1/2 BC

\(\Rightarrow\)MN + ED = \(\frac{BC}{2}\)+ \(\frac{BC}{2}\)= BC

A B C D M N E

a, xét tứ giác  AMDN có : 

góc BAC = góc DMA = góc AND = 90 (gt)

=> AMDN là hình chữ nhật (dấu hiệu)

b,  AMDN là hình chữ nhật (câu a)

=> AN // DM hay AN // ME     (1)

AMDN là hình chữ nhật => AN = MD (tc)

MD = ME do E đối xứng cới D qua M (gt)

=> AN = ME   và (1)

=> AEMN là hình bình hành (dấu hiệu)

=> AN // ME (đn)

c, AMDN là hình chữ nhật (câu a)

để AMDN là hình vuông

<=> DN = DM (dh)               (2)

có D là trung điểm của BC (gt)

DN // AB do AMDN là hình chữ nhật

=> DN là đường trung bình của tam giác ABC 

=> DN = AB/2 (tc)

tương tự có DM = AC/2      và (2)

<=> AB/2 = AC/2

<=> AB = AC 

 tam giác ABC vuông tại A gt)

<=> tam giác ABC vuông cân tại A

vậy cần thêm đk tam giác ABC vuông để AMDN là hình vuông 

+ vì AMDN là hình vuông

=> MN _|_ AD (tc)

=> S AMDN = NM.AD : 2 (Đl)     

tam giác ABC vuông tại A có AD _|_ BC 

=> S ABC = AD.BC : 2   (đl)      (3)

BC = 2NM do NM là đường trung bình của tam giác ABC   và (3)

=> S ABC =  AD.2MN : 2

=> S ABC = 2S AMDN

a) Vì tam giác ABC vuông tại A 

=> BAC = 90 độ

=> Vì K là hình chiếu của H trên AB 

=> HK vuông góc với AB

=> HKA = 90 độ

=> HKA = BAC = 90 độ

=> KH // AI 

=> KHIA là hình thang

Mà I là hình chiếu của H trên AC

=> HIA = 90 độ

=> HIA = BAC = 90 độ

=> KHIA là hình thang cân

b) Vì KHIA là hình thang cân

=> KA = HI 

=  >KI = HA 

Xét tam giác KAI vuông tại A và tam giác HIC vuông tại I có

KA = HI

KI = AH 

=> Tam giác KAI = tam giác HIC ( cgv-ch)

=> KIA = ACB ( DPCM)

c) con ý này tớ nội dung chưa học đến  thông cảm

a) Xét tam giác EBD và tam giác ABC ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{EBD}-chung\\\widehat{DEB}=\widehat{BAC}\left(=90\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow|\Delta EBD~\Delta ABC\left(g.g\right)\)

b) Từ 2 tam giác đồng dạng trên, ta có: \(\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow BE.BC=BD.DA\left(dpcm\right)\)

c Xét tam giác BEA và tam giác BDC ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{EB}{AB}=\frac{BD}{BC}\left(cmt\right)\\\widehat{B}-chung\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta BEA~\Delta BDC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{BCD}\left(dpcm\right)\)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a, ta có tỉ lệ \(\frac{AM}{AB}\)= \(\frac{3}{3+2}\)= \(\frac{3}{5}\)

\(\frac{AN}{AC}\)= \(\frac{7,5}{7,5+5}\)= \(\frac{3}{5}\)do đó \(\frac{AM}{AB}\)= \(\frac{AN}{AC}\)suy ra đpcm

b ) vì MN//BC nên \(\frac{MK}{BI}\)= \(\frac{NK}{CT}\)= \(\frac{AK}{AI}\)mà BI = IC nên MK = KN suy ra K là trung điểm MN