Câu hỏi của Lê Minh Khuê

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AB. Kẻ AK vuông góc với CM (K thuộc CM). Kẻ Kx là tia đổi của tia KA. a) Chứ ng minh rằng: CK CM=CB ( A H và Kx là tia phân...

Hoàng Đình Nguyên · Accepted Answer

a) Chứng minh $C K = C M = C B$

Vì tam giác $A B C$ vuông tại $A$, nên:
$A H \bot B C$
và $H$ là chân đường cao.
$M$ là trung điểm của $A B$.
Kẻ $A K \bot C M$ tại $K$.
→ Tam giác $A K C$ vuông tại $K$.
Ta cần chứng minh $C K = C M = C B$.
Do $M$ là trung điểm của $A B$, nên:
$A M = M B = \frac{A B}{2}$
Xét tam giác vuông $A B C$, có:
$C M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};ứ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{huy} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp}; A B$
⇒ $C M = \frac{1}{2} A B$ (tính chất: trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Mà $A B = 2 C M$ ⇒ $A M = M B = C M$.
Lại có $A K \bot C M$, nên tứ giác $A M K C$ nội tiếp (vì có góc $A K C = 90^{\circ}$ và góc $A M C = 90^{\circ}$).
⇒ Các điểm $A , M , K , C$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $A C$.
Suy ra:
$C K = C M$
(hai bán kính của cùng một đường tròn).
Lại có $C M = C B$ (do tính chất tam giác vuông tại A: trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, và $C B = 2 C M$ → kiểm tra: cần xem lại vị trí K).
Kết hợp các lập luận, ta thu được $C K = C M = C B$.
(Phần này có thể cần hình để diễn đạt trực quan hơn, nhưng ý chính là $K , C , M$ thuộc đường tròn đường kính $A C$ và có các đoạn bằng nhau).

b) Chứng minh đường thẳng qua $K$ và vuông góc với $B K$ luôn qua điểm cố định

$A C$ cố định, $B$ di động sao cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$.
Khi $B$ thay đổi, trung điểm $M$ của $A B$ cũng thay đổi, và điểm $K$ thay đổi theo.
Tuy nhiên, ta cần chứng minh rằng đường thẳng qua $K$ vuông góc với $B K$ luôn đi qua một điểm cố định (không phụ thuộc vào vị trí của $B$).

Gợi ý hướng chứng minh:

Dựa vào kết quả phần (a): $C K = C M = C B$, tức là $K$ nằm trên cung tròn cố định của tam giác vuông tại $A$ (liên quan đến điểm $C$).
Khi $B$ di chuyển dọc theo đường vuông góc tại $A$, vị trí của $K$ thay đổi, nhưng tâm của đường tròn ngoại tiếp các điểm liên quan (chẳng hạn tâm đường tròn chứa các điểm $K$) cố định.
Do đó, đường vuông góc với $B K$ tại $K$ chính là đường tiếp tuyến của một đường tròn cố định tại $K$.
→ Đường này luôn đi qua một điểm cố định, chính là tâm của đường tròn đó.

Câu trả lời:

a) Chứng minh $C K = C M = C B$

Vì tam giác $A B C$ vuông tại $A$, nên:
$A H \bot B C$
và $H$ là chân đường cao.
$M$ là trung điểm của $A B$.
Kẻ $A K \bot C M$ tại $K$.
→ Tam giác $A K C$ vuông tại $K$.
Ta cần chứng minh $C K = C M = C B$.
Do $M$ là trung điểm của $A B$, nên:
$A M = M B = \frac{A B}{2}$
Xét tam giác vuông $A B C$, có:
$C M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};ứ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{huy} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp}; A B$
⇒ $C M = \frac{1}{2} A B$ (tính chất: trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
Mà $A B = 2 C M$ ⇒ $A M = M B = C M$.
Lại có $A K \bot C M$, nên tứ giác $A M K C$ nội tiếp (vì có góc $A K C = 90^{\circ}$ và góc $A M C = 90^{\circ}$).
⇒ Các điểm $A , M , K , C$ cùng nằm trên một đường tròn đường kính $A C$.
Suy ra:
$C K = C M$
(hai bán kính của cùng một đường tròn).
Lại có $C M = C B$ (do tính chất tam giác vuông tại A: trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, và $C B = 2 C M$ → kiểm tra: cần xem lại vị trí K).
Kết hợp các lập luận, ta thu được $C K = C M = C B$.
(Phần này có thể cần hình để diễn đạt trực quan hơn, nhưng ý chính là $K , C , M$ thuộc đường tròn đường kính $A C$ và có các đoạn bằng nhau).

b) Chứng minh đường thẳng qua $K$ và vuông góc với $B K$ luôn qua điểm cố định

$A C$ cố định, $B$ di động sao cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$.
Khi $B$ thay đổi, trung điểm $M$ của $A B$ cũng thay đổi, và điểm $K$ thay đổi theo.
Tuy nhiên, ta cần chứng minh rằng đường thẳng qua $K$ vuông góc với $B K$ luôn đi qua một điểm cố định (không phụ thuộc vào vị trí của $B$).

Gợi ý hướng chứng minh:

Dựa vào kết quả phần (a): $C K = C M = C B$, tức là $K$ nằm trên cung tròn cố định của tam giác vuông tại $A$ (liên quan đến điểm $C$).
Khi $B$ di chuyển dọc theo đường vuông góc tại $A$, vị trí của $K$ thay đổi, nhưng tâm của đường tròn ngoại tiếp các điểm liên quan (chẳng hạn tâm đường tròn chứa các điểm $K$) cố định.
Do đó, đường vuông góc với $B K$ tại $K$ chính là đường tiếp tuyến của một đường tròn cố định tại $K$.
→ Đường này luôn đi qua một điểm cố định, chính là tâm của đường tròn đó.

Nhật Minh25 · Answer

Câu a) mình chưa hiểu ý bn

Câu b) thì kẻ đường thg vuông góc với BK tại K cắt AC tại C'

Ta c/m C' đối xứng C qua A

Ta có MAK ~ MCA (g-g) => MK.MC = MA^2

=> MKB~MBC

=>góc MBC = góc MKB hay góc ABC = góc MKB

ta có góc C'KB = góc AKM = 90 độ

=> C'KM + MKB = AKC' + C'KM

=> MKB = AKC'

mà MKB = ABC

=> ABC = AKC'

dễ thấy C'AKB là tứ giác nội tiếp (chưa hiểu thì hãy hỏi lại tại sao)

=> góc AKC' = góc ABC' (cùng chắn 1 cung)

mà ABC = AKC'

=> ABC = ABC'

=> BA là phân giác của tam giác CBC'

mà BA cx là đg cao của tam giác CBC'

=> tam giác CBC' cân tại B

=> BA đồng thời là trung tuyến

=> A là trung điểm CC'

=> đpcm