Skibido tolley

Ta có: \(x^3+y^3+z^2=3xyz+1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3-3xy\left(x+y+z\right)-3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)=1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^2-3\left(zx+zy\right)-3xy\right]=1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-3xy-3yz-3zx\right]=1\)

   \(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=1\)

Đến đây các bạn tự giải nhé ^_^

Bn gì ơi, đây kh pk mk nhờ bn giải hộ, mk nổi hứng đăng câu hỏi lên thôi nên lm hết đi nhá

Ta có BĐT sau:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

CM:    \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

<=>   \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

<=>   \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)     (*)

=> BĐT (*) LUÔN ĐÚNG !!!!

=>   \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

=>   \(3\left(ab+bc+ca\right)\le0\)

=>   \(ab+bc+ca\le0\)

VẬY TA CÓ ĐPCM.

\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+ca\right)=0\)

Vì  \(a^2+b^2+c^2\ge0\forall a;b;c\)

\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le0\left(đpcm\right)\)

Đợi t qua thi nhé full.

ĐK:1\(\ge\)x\(\ge\)-1

+) Với x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ 

Từ (1) suy ra x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ =1/2000 (thay vào (2) thỏa mãn)

+) Với x₁<x₂<...<x₂₀₀₀ ( trường hợp còn lại chắc cũng giống vậy)

Từ (1) suy ra:

VT>2000.\(\sqrt{1+x_1}\)<=> \(\sqrt{\frac{2001}{2000}}\)>\(\sqrt{1+x_1}\)<=>x₁<1/2000(1)

Từ (2) suy ra:

VT<2000.\(\sqrt{1+x_1}\)<=>\(\sqrt{\frac{1999}{2000}}\)<\(\sqrt{1-x_1}\) <=>x₁>1/2000(2)

Từ (1) và (2) cho thấy x₁<x₂<...<x₂₀₀₀ không xảy ra 

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ =1/2000

Cảm ơn nhiều nha Lê Hồ Trọng Tín , cách giải rất hay . Mk có cách này, cũng gần tương tự(p/s nhà mk đã đủ gạch đá r nên k dám nhận nữa đâu ( v￣▽￣)   )

Điều kiện \(-1\le x_n\le1\) với mọi \(n=1,2,3,...,2000\)

Khi đó :

\( \left(1\right)\Leftrightarrow2000.2001=\left(\sqrt{1+x_1}+\sqrt{1+x_2}+...+\sqrt{1+x_{2000}}\right)^2\)

                     \(\le\left(1+1+...+1\right)\left(1+x_1+1+x_2+...+1+x_{2000}\right)\)( bất đẳng thức bunyakovsky)

                     \(=2000\left(2000+x_1+x_2+...+x_{2000}\right)\)

           \(\Leftrightarrow1\le x_1+x_2+...+x_{2000}\)

Khi đó :

\(\left(2\right)\Leftrightarrow2000.1999\le\left(1+1+...+1\right)\left(1+1+...+1-x_1-x_2-...-x_{2000}\right)\)

        \(\Leftrightarrow x_1+x_2+...+x_{2000}\le1\)

Do đó \(\hept{\begin{cases}1+x_1=1+x_2=...=1+x_{2000}\\1-x_1=1-x_2=...=1-x_{2000}\\x_1+x_2+...+x_{2000}=1\end{cases}\Leftrightarrow_{ }}x_1=x_2=...=x_{2000}=\frac{1}{2000}.\)

@Nguyễn Thanh Hằng đọc xong xóa đii nha

:P

\(m^2+n^2=m+n+8\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4n^2-4n+1=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2+\left(2n-1\right)^2=34\left(1\right)\)

Mà \(\left(2m-1\right)^2\ge0;\left(2n-1\right)^2\ge0;m,n\in N\)và \(5^2+3^2=3^2+5^2=34\)

Từ (1) suy ra 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2m-1=5\\2n-1=3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=3\\n=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2m-1=3\\2n-1=5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=2\\n=3\end{cases}}\)

Vậy cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn hệ thức \(m^2+n^2=m+n+8\)là \(\left\{\left(m=3;n=2\right);\left(m=2;n=3\right)\right\}\)

Ta có : \(m^2+n^2=m+n+8\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1+4n^2-4n+1=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2+\left(2n-1\right)^2=34\left(1\right)\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(2m-1\right)^2\ge0\\\left(2n-1\right)^2\ge0\end{cases}}\)và m , n thuộc N 

(1) \(\Rightarrow\left(2m-1\right)^2\le34\)

\(\Rightarrow2m-1\le5\Rightarrow2m\le6\Rightarrow m\le3\)

+) Khi m = 0 thì : \(m^2+n^2=m+n+8\) \(\Leftrightarrow n^2-n-8=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-8\right)=33\)\(\Rightarrow m\notin N\)

+) khi m= 1 thì : \(m^2+n^2=m+n+8\)\(\Leftrightarrow n^2-n-8=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-8\right)=33\)\(\Rightarrow m\notin N\)

+) Khi m =2 thì : \(m^2+n^2=m+n+8\)\(\Leftrightarrow n^2-n-6=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-6\right)=25>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\)  ; \(\hept{\begin{cases}n_1=\frac{1+5}{2}=3\left(TM\right)\\n_2=\frac{1-5}{2}=-2\left(L\right)\end{cases}}\)

+) Khi m = 3 thì : \(m^2+n^2=m+n+8\)\(\Leftrightarrow n^2-n-2=0\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(-2\right)=9>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{9}=3\); \(\hept{\begin{cases}n_3=\frac{1+3}{2}=2\left(TM\right)\\n_4=\frac{1-3}{2}=-1\left(L\right)\end{cases}}\)

vậy cặp snt ( m ; n ) thỏa mãn hệ thức \(m^2+n^2=m+n+8\)là \(\left(m;n\right)=\left(2;3\right)=\left(3;2\right)\)

Công nhận dễ.

dễ thật mak =((

ko spam nx nhé

Bài 2:

a)\(x^3-2x^2+x\)

\(=x\left(x^2-2x+1\right)\)

\(=x\left(x-1\right)^2\)

b)\(x^2-2x-15\)

\(=x^2-5x+3x-15\)

\(=x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)\)

c)\(y\left(x-z\right)+7\left(z-x\right)\)

\(=7\left(z-x\right)-y\left(z-x\right)\)

\(=\left(7-y\right)\left(z-x\right)\)

\(=\left(x-5\right)\left(x+3\right)\)

d)\(36-12x+x^2\)

\(=x^2-12x+36\)

\(=\left(x-6\right)^2\)

Bài 1:

a)\(2x\left(x^2-7x-3\right)=2x^3-14x^2-6x\)

b)\(\left(-2x^3+34y^2-7xy\right)\cdot4xy^2=136xy^4-28x^2y^3-8x^4y^2\)

c)\(\left(x^2-2x+3\right)\left(x-4\right)\)

\(=x^2\left(x-4\right)-2x\left(x-4\right)+3\left(x-4\right)\)

\(=x^3-4x^2-2x^2+8x+3x-12\)

\(=x^3-6x^2+11x-12\)

d)\(\left(2x^3-3x-1\right)\left(5x+2\right)\)

\(=5x\left(2x^3-3x-1\right)+2\left(2x^3-3x-1\right)\)

\(=10x^4-15x^2-5x+4x^3-6x-2\)

\(=10x^4+4x^3-15x^2-11x-2\)