Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
Ta bình phương cả 2 vế của phương trình rồi giải: √(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)^2 = (1/a + 1/b + 1/c)^2 <=> 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 = 1/a^2 + 1/ b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/ac + 2/bc . Gpt vế phải a có : 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2/ab + 2/ac + 2/bc = 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 2(a+b+c)/abc . Theo đề bài có a+b+c=0 thay vào biểu thức trên ta suy ra được điều phải chứng minh
a) \(\left(3+1\sqrt{6}-\sqrt{33}\right)\left(\sqrt{22}+\sqrt{6}+4\right)\)
\(=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{11}\right).\sqrt{2}\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)\)
\(=\sqrt{6}\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}-\sqrt{11}\right)\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}+\sqrt{11}\right)\)
\(=\sqrt{6}\left[\left(\sqrt{3}+2\sqrt{2}\right)^2-11\right]=\sqrt{6}\left(11+4\sqrt{6}-11\right)=\sqrt{6}.4\sqrt{6}=6.4=24\)
b) \(\left(\frac{1}{5-2\sqrt{6}}+\frac{2}{5+2\sqrt{6}}\right)\left(15+2\sqrt{6}\right)=\left(\frac{5+2\sqrt{6}+10-4\sqrt{6}}{5^2-\left(2\sqrt{6}\right)^2}\right)\left(15+2\sqrt{6}\right)\)
\(=\left(15-2\sqrt{6}\right)\left(15+2\sqrt{6}\right)=15^2-24=201\)
C) \(\left(\frac{4}{3}.\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3\frac{1}{3}}\right)\left(\sqrt{1,2}+\sqrt{2}-4\sqrt{\frac{1}{5}}\right)\)
\(=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{15}}\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}+4\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}-4\right)=\frac{1}{\sqrt{15}}\left[\left(\sqrt{6}+\sqrt{10}\right)^2-16\right]\)
\(=\frac{1}{\sqrt{15}}\left(16+4\sqrt{15}-16\right)=\frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{15}}=4\)
d) \(\sqrt{\left(1-\sqrt{1989}\right)^2}.\sqrt{1990+2\sqrt{1989}}=\sqrt{\left(1-\sqrt{1989}\right)^2}.\sqrt{1989+2\sqrt{1989}+1}\)
\(=\sqrt{\left(1-\sqrt{1989}\right)^2}.\sqrt{\left(\sqrt{1989}+1\right)^2}=\left(\sqrt{1989}-1\right)\left(\sqrt{1989}+1\right)=1989-1=1988\)
e) \(\frac{a-\sqrt{ab}+b}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}-\frac{1}{a-b}=\frac{a-\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}-\frac{1}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{1}{a-b}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}-1}{a-b}\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Câu 2: Theo định lý Vi-et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-a\\x_1x_2=b\end{cases}}\)Bất Đẳng Thức cần chứng minh có dạng
\(\frac{x_1}{1+x_1}+\frac{x_2}{1+x_2}\ge\frac{2\sqrt{x_1x_2}}{1+\sqrt{x_1x_2}}\)Hay \(\frac{x_1}{1+x_2}+1+\frac{x_2}{1+x_1}+1\ge\frac{2\sqrt{x_1x_2}}{1+\sqrt{x_1x_2}}+2\)
\(\left(x_1+x_2+1\right)\left(\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}\right)\ge\frac{2\left(1+2\sqrt{x_1x_2}\right)}{1+\sqrt{x_1x_2}}\)Theo Bất Đẳng Thức Cosi ta có
\(x_1+x_2+1\ge2\sqrt{x_1x_2}+1\)Để chứng minh (*) ta quy về chứng minh
\(\frac{1}{1+x_1}+\frac{1}{1+x_2}\ge\frac{2}{1+\sqrt{x_1x_2}}\)với \(x_1;x_2>1\). Quy đồng rồi rút gọn Bất Đẳng Thức trên tương đương với
\(\left(\sqrt{x_1x_2}-1\right)\left(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}\right)^2\ge0\)(Điều này hiển nhiên đúng)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x_1=x_2\Leftrightarrow a^2=4b\)
500000000
a: Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=>\(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
=>\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng với a;b>=0)
b: Ta có: \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\cdot\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ac}{b}}=2\cdot\sqrt{c^2\cdot\frac{ab}{ab}}=2c\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\cdot\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ab}{c}}=2\cdot\sqrt{b^2\cdot\frac{ac}{ac}}=2\cdot b\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\cdot\sqrt{\frac{ac}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2\cdot\sqrt{a^2\cdot\frac{bc}{bc}}=2\cdot a\)
Do đó: \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2a+2b+2c\)
=>\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
=>\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)