Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

đỉnh

Bài 1)

Gọi số phức $z$ có dạng \(z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})\).

Ta có \(|z|+z=3+4i\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}+a+bi=3+4i\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a^2+b^2}+a=3\\b=4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a=\frac{5}{6}\\b=4\end{matrix}\right.\)

Vậy số phức cần tìm là \(\frac{5}{6}+4i\)

b)

\(\left\{\begin{matrix} z_1+3z_1z_2=(-1+i)z_2\\ 2z_1-z_2=3+2i\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{z_1}{z_2}+3z_1=-1+i\\ 2z_1-z_2=3+2i\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{z_1}{z_2}+z_1+z_2=(-1+i)-(3+2i)=-4-i\)

\(\Leftrightarrow w=-4-i\Rightarrow |w|=\sqrt{17}\)

Ω

a) Ta có \(\log_32<\log_33=1=\log_22<\log_23\)

b) \(\log_23<\log_24=2=\log_39<\log_311\)

c) Đưa về cùng 1 lôgarit cơ số 10, ta có 

\(\frac{1}{2}+lg3=\frac{1}{2}lg10+lg3=lg3\sqrt{10}\)

\(lg19-lg2=lg\frac{19}{2}\)

So sánh 2 số \(3\sqrt{10}\) và \(\frac{19}{2}\) ta có :

\(\left(3\sqrt{10}\right)^2=9.10=90=\frac{360}{4}<\frac{361}{4}=\left(\frac{19}{2}\right)^2\)

Vì vậy : \(3\sqrt{10}<\frac{19}{2}\)

Từ đó suy ra \(\frac{1}{2}+lg3\)<\(lg19-lg2\)

d) Ta có : \(\frac{lg5+lg\sqrt{7}}{2}=lg\left(5\sqrt{7}\right)^{\frac{1}{2}}=lg\sqrt{5\sqrt{7}}\)

Ta so sánh 2 số : \(\sqrt{5\sqrt{7}}\) và \(\frac{5+\sqrt{7}}{2}\) 

Ta có :

\(\sqrt{5\sqrt{7}}^2=5\sqrt{7}\)

\(\left(\frac{5+\sqrt{7}}{2}\right)^2=\frac{32+10\sqrt{7}}{4}=8+\frac{5}{2}\sqrt{7}\)

\(8+\frac{5}{2}\sqrt{7}-5\sqrt{7}=8-\frac{5}{2}\sqrt{7}=\frac{16-5\sqrt{7}}{2}=\frac{\sqrt{256}-\sqrt{175}}{2}>0\)

Suy ra : \(8+\frac{5}{2}\sqrt{7}>5\sqrt{7}\)

Do đó : \(\frac{5+\sqrt{7}}{2}>\sqrt{5\sqrt{7}}\)

và \(lg\frac{5+\sqrt{7}}{2}>\frac{lg5+lg\sqrt{7}}{2}\)

☢

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm:

\(1001x^2+1001z^2\geq 2\sqrt{1001x^2.1001z^2}=2|1001xz|\geq 2002xz\)

\(18x^2+\frac{25}{2}y^4\geq 2\sqrt{18x^2.\frac{25}{2}y^4}=2|15xy^2|\geq 30xy^2\)

\(\frac{3}{2}y^4+6z^2\geq 2\sqrt{\frac{3}{2}y^4.6z^2}=2|3y^2z|\geq 6y^2z\)

\(4y^4\geq 0\)

Cộng các BĐT trên theo vế, ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=0$

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm:

\(1001x^2+1001z^2\geq 2\sqrt{1001x^2.1001z^2}=2|1001xz|\geq 2002xz\)

\(18x^2+\frac{25}{2}y^4\geq 2\sqrt{18x^2.\frac{25}{2}y^4}=2|15xy^2|\geq 30xy^2\)

\(\frac{3}{2}y^4+6z^2\geq 2\sqrt{\frac{3}{2}y^4.6z^2}=2|3y^2z|\geq 6y^2z\)

\(4y^4\geq 0\)

Cộng các BĐT trên theo vế, ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=0$

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\)là tiếp điểm. Ta có : \(y'=-3x^2+3\)

a) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+y-1=0\Rightarrow y=-x+1\) nên ta có :

\(y'\left(x_0\right)=1\Leftrightarrow-3x^2_0+3=1\Leftrightarrow x_0=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}\)

* \(x_0=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow y_0=\frac{18+7\sqrt{6}}{9}\) nên ta có phương trình tiếp tuyến 

                                       \(y=\left(x-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)+\frac{18+7\sqrt{6}}{9}=x+\frac{18+7\sqrt{6}}{9}\)

* \(x_0=-\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow y_0=\frac{18-7\sqrt{6}}{9}\) nên ta có phương trình tiếp tuyến 

                                       \(y=\left(x+\frac{\sqrt{6}}{3}\right)+\frac{18-7\sqrt{6}}{9}=x+\frac{18-7\sqrt{6}}{9}\)

a/ \(I=\int sinxdx-\frac{1}{2}\int e^{2x}d\left(2x\right)=-cosx-\frac{1}{2}e^{2x}+C\)

b/ Ko rõ đề

c/ Không rõ đề

d/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=sinx.dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cosx\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=-\left(x+1\right)cosx+\int cosxdx=-\left(x+1\right)cosx+sinx+C\)

phuong trinh bac 2 khuyet c

\(I_1=\int cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)dx-\int\frac{2}{6x+5}dx=\frac{2}{\pi}\int cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)d\left(\frac{\pi x}{2}\right)-\frac{1}{3}\int\frac{d\left(6x+5\right)}{6x+5}\)

\(=\frac{2}{\pi}sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)-\frac{1}{3}ln\left|6x+5\right|+C\)

\(I_2=-\frac{1}{2}\int\left(4-x^4\right)^{\frac{1}{2}}d\left(4-x^4\right)=-\frac{1}{2}.\frac{\left(4-x^4\right)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{-\sqrt{\left(4-x^4\right)^3}}{3}+C\)

\(I_3=2\int e^{\frac{1}{2}\left(4+x^2\right)}d\left(\frac{1}{2}\left(4+x^2\right)\right)=2e^{\frac{1}{2}\left(4+x^2\right)}+C=2\sqrt{e^{4+x^2}}+C\)

\(I_4=-\frac{1}{2}\int\left(1-x^2\right)^{\frac{1}{3}}d\left(1-x^2\right)=-\frac{1}{2}.\frac{\left(1-x^2\right)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C=-\frac{3}{8}\sqrt[3]{\left(1-x^2\right)^4}+C\)

\(I_5=\int e^{sinx}d\left(sinx\right)=e^{sinx}+C\)

\(I_6=\int\frac{d\left(1+sinx\right)}{1+sinx}=ln\left(1+sinx\right)+C\)

\(I_7=\int\left(x+1\right)\sqrt{x-1}dx\)

Đặt \(\sqrt{x-1}=t\Rightarrow x=t^2+1\Rightarrow dx=2tdt\)

\(\Rightarrow I_7=\int\left(t^2+2\right).t.2t.dt=\int\left(2t^4+4t^2\right)dt=\frac{2}{5}t^5+\frac{4}{3}t^3+C\)

\(=\frac{2}{5}\sqrt{\left(1-x\right)^5}+\frac{4}{3}\sqrt{\left(1-x\right)^3}+C\)

\(I_8=\int\left(2x+1\right)^{20}dx\)

Đặt \(2x+1=t\Rightarrow2dx=dt\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt\)

\(\Rightarrow I_8=\frac{1}{2}\int t^{20}dt=\frac{1}{42}t^{21}+C=\frac{1}{42}\left(2x+1\right)^{21}+C\)

\(I_9=-3\int\left(1-x^3\right)^{-\frac{1}{2}}d\left(1-x^3\right)=-3.\frac{\left(1-x^3\right)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=-6\sqrt{1-x^3}+C\)

\(I_{10}=\int\frac{x}{\sqrt{2x+3}}dx\)

Đặt \(\sqrt{2x+3}=t\Rightarrow x=\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}\Rightarrow dx=t.dt\)

\(\Rightarrow I_{10}=\int\frac{\frac{1}{2}t^2-\frac{3}{2}}{t}.t.dt=\frac{1}{2}\int\left(t^2-3\right)dt=\frac{2}{3}t^3-\frac{3}{2}t+C\)

\(=\frac{2}{3}\sqrt{\left(2x+3\right)^3}-\frac{3}{2}\sqrt{2x+3}+C\)