Câu hỏi của Khải Nguyễn Quang

Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AQ, BN, CM cắt nhau tại H, K là điểm đối xứng với H qua Q.
a) Tứ giác BHCK là hình j? vì sao?

Nguyễn Lê Hương Giang · Accepted Answer

Đề bài:

Tam giác ABC cân tại A
Các đường cao: AQ, BN, CM cắt nhau tại trực tâm H
Gọi K là điểm đối xứng của H qua Q
Các câu hỏi từ a) đến f)

a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?

Phân tích:

H là trực tâm tam giác ABC.
AQ là đường cao từ A ⇒ Q thuộc BC, AQ ⊥ BC.
BN và CM là các đường cao ⇒ H là giao điểm của 3 đường cao.
K là đối xứng của H qua Q ⇒ Q là trung điểm của đoạn HK.

Ta cần xét tứ giác BHCK.

Chứng minh:

H, K đối xứng qua Q ⇒ HQ = QK
AQ ⊥ BC ⇒ Q là chân đường cao từ A, tức AQ ⊥ BC
H thuộc 3 đường cao ⇒ H nằm trên BN và CM
Do đó: H ∈ BN và CM, còn K là đối xứng của H qua Q

⇒ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB

Xét BHCK:

H và C cùng nằm trên CM
B và H cùng nằm trên BN
K là điểm đối xứng H qua Q (Q ∈ BC)
Vậy: BH song song với CK (vì đều vuông góc với AC, do tam giác cân tại A ⇒ AC = AB)

⇒ BH ∥ CK và BH = CK (do đối xứng)

Kết luận:
Tứ giác BHCK là hình bình hành
(vì có 2 cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

b) Đường thẳng qua K song song BC cắt đường thẳng qua C song song với AK tại E. Chứng minh KC = QE

Phân tích hình học:

Qua K vẽ đường thẳng song song BC ⇒ gọi là đường d₁
Qua C vẽ đường thẳng song song AK ⇒ gọi là đường d₂
E là giao điểm của d₁ và d₂.

Chứng minh:

ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC, các đường cao từ B và C có độ dài bằng nhau, và Q là trung điểm HK (K đối xứng H qua Q)
AK ⊥ BC (vì AQ ⊥ BC và K đối xứng H qua Q)
Do d₁ ∥ BC, d₂ ∥ AK ⇒ d₁ ⊥ d₂

Xét hình chữ nhật KECQ:

KC ∥ QE (do d₁ và d₂)
KC = QE (do đối xứng qua Q và tính chất hình chữ nhật)
Góc tại Q là vuông.

Kết luận: KC = QE

c) Gọi P là hình chiếu của K trên HC. Chứng minh ∠QPE = 90°

Phân tích:

P là hình chiếu vuông góc từ K lên HC ⇒ KP ⊥ HC
E ∈ đường thẳng song song AK
Q nằm trên AQ ⊥ BC ⇒ AQ ⊥ BC ⇒ QE ⊥ BC ⇒ QE ⊥ AK

Chứng minh:

∠QPE là góc giữa QE và đường thẳng đi qua P vuông góc với HC

Do KC = QE và KC ∥ QE ⇒ tứ giác KECQ có tính chất hình bình hành đặc biệt ⇒ kết luận:

KP ⊥ HC
QE ⊥ AK (vì song song BC, BC ⊥ AQ)
Mà AK ⊥ HC ⇒ QE ⊥ HC ⇒ QE ⊥ KP

⇒ ∠QPE = 90°

d) Chứng minh tứ giác HCEQ là hình bình hành

Phân tích:

H, C, E, Q là các điểm đã biết
H và K đối xứng nhau qua Q ⇒ HQ = QK
KC = QE (chứng minh trên)
KC ∥ QE ⇒ ⇒ HC ∥ QE

Chứng minh:

Tứ giác HCEQ có:
- HQ = QE (từ đối xứng và chứng minh KC = QE)
- HC ∥ QE (vì cùng song song với AK)

⇒ Tứ giác HCEQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau

⇒ HCEQ là hình bình hành

e) QE cắt BN tại I, chứng minh I là trung điểm BH

Phân tích:

QE cắt BN tại I
BN là đường cao từ B ⇒ đi qua H
BH là đoạn từ B đến H

Ta sẽ chứng minh I là trung điểm BH

Chứng minh:

Tứ giác HCEQ là hình bình hành ⇒ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ Đường chéo HQ và CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ Giao điểm là trung điểm của BH (vì H nằm trên BH), QE đi qua đó

⇒ I là trung điểm của BH

f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HIEC là hình thang cân

Phân tích:

Tứ giác HIEC gồm các điểm:
- H: trực tâm
- I: trung điểm BH (chứng minh trên)
- E: từ giao điểm QE và đường song song BC
- C: đỉnh tam giác

Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ 2 cạnh đối song song và 2 góc kề đáy bằng nhau

Giả sử HE ∥ IC và HE = IC ⇒ hình thang cân

Điều kiện xảy ra:

ΔABC phải là tam giác đều (vì lúc đó tam giác cân tại A, đồng thời các đường cao là cũng là trung tuyến, phân giác, đường trung trực)
Khi đó: H là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, và trung điểm giao nhau ⇒ tạo nên các tính chất đối xứng mạnh.

Kết luận:
Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ tam giác ABC đều

mong các bạn nhận xét và cho mình một đúng

Câu trả lời:

Đề bài:

Tam giác ABC cân tại A
Các đường cao: AQ, BN, CM cắt nhau tại trực tâm H
Gọi K là điểm đối xứng của H qua Q
Các câu hỏi từ a) đến f)

a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?

Phân tích:

H là trực tâm tam giác ABC.
AQ là đường cao từ A ⇒ Q thuộc BC, AQ ⊥ BC.
BN và CM là các đường cao ⇒ H là giao điểm của 3 đường cao.
K là đối xứng của H qua Q ⇒ Q là trung điểm của đoạn HK.

Ta cần xét tứ giác BHCK.

Chứng minh:

H, K đối xứng qua Q ⇒ HQ = QK
AQ ⊥ BC ⇒ Q là chân đường cao từ A, tức AQ ⊥ BC
H thuộc 3 đường cao ⇒ H nằm trên BN và CM
Do đó: H ∈ BN và CM, còn K là đối xứng của H qua Q

⇒ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB

Xét BHCK:

H và C cùng nằm trên CM
B và H cùng nằm trên BN
K là điểm đối xứng H qua Q (Q ∈ BC)
Vậy: BH song song với CK (vì đều vuông góc với AC, do tam giác cân tại A ⇒ AC = AB)

⇒ BH ∥ CK và BH = CK (do đối xứng)

Kết luận:
Tứ giác BHCK là hình bình hành
(vì có 2 cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

b) Đường thẳng qua K song song BC cắt đường thẳng qua C song song với AK tại E. Chứng minh KC = QE

Phân tích hình học:

Qua K vẽ đường thẳng song song BC ⇒ gọi là đường d₁
Qua C vẽ đường thẳng song song AK ⇒ gọi là đường d₂
E là giao điểm của d₁ và d₂.

Chứng minh:

ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC, các đường cao từ B và C có độ dài bằng nhau, và Q là trung điểm HK (K đối xứng H qua Q)
AK ⊥ BC (vì AQ ⊥ BC và K đối xứng H qua Q)
Do d₁ ∥ BC, d₂ ∥ AK ⇒ d₁ ⊥ d₂

Xét hình chữ nhật KECQ:

KC ∥ QE (do d₁ và d₂)
KC = QE (do đối xứng qua Q và tính chất hình chữ nhật)
Góc tại Q là vuông.

Kết luận: KC = QE

c) Gọi P là hình chiếu của K trên HC. Chứng minh ∠QPE = 90°

Phân tích:

P là hình chiếu vuông góc từ K lên HC ⇒ KP ⊥ HC
E ∈ đường thẳng song song AK
Q nằm trên AQ ⊥ BC ⇒ AQ ⊥ BC ⇒ QE ⊥ BC ⇒ QE ⊥ AK

Chứng minh:

∠QPE là góc giữa QE và đường thẳng đi qua P vuông góc với HC

Do KC = QE và KC ∥ QE ⇒ tứ giác KECQ có tính chất hình bình hành đặc biệt ⇒ kết luận:

KP ⊥ HC
QE ⊥ AK (vì song song BC, BC ⊥ AQ)
Mà AK ⊥ HC ⇒ QE ⊥ HC ⇒ QE ⊥ KP

⇒ ∠QPE = 90°

d) Chứng minh tứ giác HCEQ là hình bình hành

Phân tích:

H, C, E, Q là các điểm đã biết
H và K đối xứng nhau qua Q ⇒ HQ = QK
KC = QE (chứng minh trên)
KC ∥ QE ⇒ ⇒ HC ∥ QE

Chứng minh:

Tứ giác HCEQ có:
- HQ = QE (từ đối xứng và chứng minh KC = QE)
- HC ∥ QE (vì cùng song song với AK)

⇒ Tứ giác HCEQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau

⇒ HCEQ là hình bình hành

e) QE cắt BN tại I, chứng minh I là trung điểm BH

Phân tích:

QE cắt BN tại I
BN là đường cao từ B ⇒ đi qua H
BH là đoạn từ B đến H

Ta sẽ chứng minh I là trung điểm BH

Chứng minh:

Tứ giác HCEQ là hình bình hành ⇒ đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ Đường chéo HQ và CE cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ Giao điểm là trung điểm của BH (vì H nằm trên BH), QE đi qua đó

⇒ I là trung điểm của BH

f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HIEC là hình thang cân

Phân tích:

Tứ giác HIEC gồm các điểm:
- H: trực tâm
- I: trung điểm BH (chứng minh trên)
- E: từ giao điểm QE và đường song song BC
- C: đỉnh tam giác

Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ 2 cạnh đối song song và 2 góc kề đáy bằng nhau

Giả sử HE ∥ IC và HE = IC ⇒ hình thang cân

Điều kiện xảy ra:

ΔABC phải là tam giác đều (vì lúc đó tam giác cân tại A, đồng thời các đường cao là cũng là trung tuyến, phân giác, đường trung trực)
Khi đó: H là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, và trung điểm giao nhau ⇒ tạo nên các tính chất đối xứng mạnh.

Kết luận:
Tứ giác HIEC là hình thang cân ⇔ tam giác ABC đều

mong các bạn nhận xét và cho mình một đúng

a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?

Phân tích:

Chứng minh:

Xét BHCK:

b) Đường thẳng qua K song song BC cắt đường thẳng qua C song song với AK tại E. Chứng minh KC = QE

Phân tích hình học:

Chứng minh:

c) Gọi P là hình chiếu của K trên HC. Chứng minh ∠QPE = 90°

Phân tích:

Chứng minh:

d) Chứng minh tứ giác HCEQ là hình bình hành

Phân tích:

Chứng minh:

e) QE cắt BN tại I, chứng minh I là trung điểm BH

Phân tích:

Chứng minh:

f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HIEC là hình thang cân

Phân tích:

Giả sử HE ∥ IC và HE = IC ⇒ hình thang cân

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

a) Tứ giác BHCK là hình gì? Vì sao?

Phân tích:

Chứng minh:

Xét BHCK:

b) Đường thẳng qua K song song BC cắt đường thẳng qua C song song với AK tại E. Chứng minh KC = QE

Phân tích hình học:

Chứng minh:

c) Gọi P là hình chiếu của K trên HC. Chứng minh ∠QPE = 90°

Phân tích:

Chứng minh:

d) Chứng minh tứ giác HCEQ là hình bình hành

Phân tích:

Chứng minh:

e) QE cắt BN tại I, chứng minh I là trung điểm BH

Phân tích:

Chứng minh:

f) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác HIEC là hình thang cân

Phân tích:

Giả sử HE ∥ IC và HE = IC ⇒ hình thang cân

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP