Ta có: \(\left(3x-2\right)^{2024}\ge0\forall x\)

=>\(4\left(3x-2\right)^{2024}\ge0\forall x\)

mà \(\left(y+1\right)^{10}\ge0\forall y\)

nên \(4\left(3x-2\right)^{2024}+\left(y+1\right)^{10}\ge0\forall x,y\)

=>\(4\left(3x-2\right)^{2024}+\left(y+1\right)^{10}+2025\ge2025\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\begin{cases}3x-2=0\\ y+1=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac23\\ y=-1\end{cases}\)

a: Ta có: \(N=\left|30-x\right|+\left|x+9\right|\)

=>N>=|30-x+x+9|=39∀x

Dấu '=' xảy ra khi (30-x)(x+9)>=0

=>(x-30)(x+9)<=0

=>-9<=x<=30

b: TH1: x<9

=>x-9<0; x-30<0; x-2024<0

=>M=9-x+30-x+2024-x=2063-3x

Vì M=-3x+2063 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi x<9 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH2: 9<=x<30

=>x-9>=0; x-30<0; x-2024<0

=>M=x-9+30-x+2024-x=-x+2045

Vì M=-x+2045 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi 9<=x<30 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH3: 30<=x<2024

=>x-9>0; x-30>=0; x-2024<0

=>M=x-9+x-30+2024-x=x+1985

Vì hàm số M=x+1985 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

30<=x<2024

=>\(x_{\min}=30\)

=>\(M_{\min}=30+1985=2015\) (1)

TH4: x>=2024

=>x-9>0; x-30>0; x-2024>=0

=>M=x-9+x-30+x-2024=3x-2063

Vì hàm số M=3x-2063 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi x>=2024 thì \(x_{\min}=2024\)

=>\(M_{\min}=3\cdot2024-2063=6072-2063=4009\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(M_{\min}=2015\) khi x=30

a: Ta có: \(N=\left|30-x\right|+\left|x+9\right|\)

=>N>=|30-x+x+9|=39∀x

Dấu '=' xảy ra khi (30-x)(x+9)>=0

=>(x-30)(x+9)<=0

=>-9<=x<=30

b: TH1: x<9

=>x-9<0; x-30<0; x-2024<0

=>M=9-x+30-x+2024-x=2063-3x

Vì M=-3x+2063 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi x<9 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH2: 9<=x<30

=>x-9>=0; x-30<0; x-2024<0

=>M=x-9+30-x+2024-x=-x+2045

Vì M=-x+2045 là hàm số nghịch biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi 9<=x<30 thì x không có giá trị lớn nhất

=>M không có giá trị nhỏ nhất

TH3: 30<=x<2024

=>x-9>0; x-30>=0; x-2024<0

=>M=x-9+x-30+2024-x=x+1985

Vì hàm số M=x+1985 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

30<=x<2024

=>\(x_{\min}=30\)

=>\(M_{\min}=30+1985=2015\) (1)

TH4: x>=2024

=>x-9>0; x-30>0; x-2024>=0

=>M=x-9+x-30+x-2024=3x-2063

Vì hàm số M=3x-2063 là hàm số đồng biến trên R

nên M nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi x>=2024 thì \(x_{\min}=2024\)

=>\(M_{\min}=3\cdot2024-2063=6072-2063=4009\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(M_{\min}=2015\) khi x=30

Ta có: \(\left(2x-1\right)^{2024}\ge0\)

\(\left|x+y+1\right|\ge0\) nên \(\left|x+y+1\right|^{2025}\ge0\)

Suy ra: \(\left(2x-1\right)^{2024}+\left|x+y+1\right|^{2025}\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\begin{cases}2x-1=0\\ x+y+1=0\end{cases}\rArr\begin{cases}2x=1\\ x+y=-1\end{cases}\rArr\begin{cases}x=\frac12\\ y=-1-\frac12=-\frac32\end{cases}\)

Vậy: \(x=\frac12;y=-\frac32\)

2x−1)2024≥0 vì lũy thừa bội/chẵn của một số cho kết quả không âm

\(\mid x + y + 1 \mid^{2025} = \left(\right. \mid x + y + 1 \mid \left.\right)^{2025} \geq 0\) vì giá trị tuyệt đối không âm, mũ lẻ hay chẵn đều không làm nó âm

Nếu tổng của hai số không âm bằng \(0\) thì mỗi số phải bằng \(0\) (nếu một trong hai dương thì tổng > 0 — mâu thuẫn)

Vậy

Thay \(x = \frac{1}{2}\) được \(y = - \frac{3}{2}\)

vậy

\(\left(\right.x,y\left.\right)=\left(\right.\frac{1}{2},\textrm{ }-\frac{3}{2}\left.\right)\)