Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có:

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ac}\left(2\right)\)

Từ (1) ;(2) và (3) suy ra:

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=6\)

Vậy \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge6\).Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}a+b+c=6abc\\\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}\end{cases}=>a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

A = \(x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1\)

\(=\left(\frac{x}{3}-\frac{2\times\sqrt{3}\sqrt{xy}}{\sqrt{3}}+3y\right)+\left(\frac{2x}{3}-\frac{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}\sqrt{x}}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}+\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}}-\sqrt{3y}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2x}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2-\frac{1}{2}\)

\(\ge-\frac{1}{2}\)

cảm ơn

Ukm

It's very hard

l can't do it 

Sorry!

P đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\frac{1}{P}\)đạt giá trị lớn nhất.

Xét : \(\frac{2}{P}=\frac{x^2+x+1}{x}=x+\frac{1}{x}+1\). Áp dụng bđt Cauchy với hai số không âm x và 1/x được : 

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Rightarrow\frac{2}{P}\ge3\Leftrightarrow P\le\frac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x=\frac{1}{x}\end{cases}\Leftrightarrow}x=1\)

Vậy Min P = 2/3 tại x = 1

GTNN

\(P=\frac{2x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\forall x\ge0\)

GTLN

\(P=\frac{2}{\frac{x^2+x+1}{x}}=\frac{2}{x+\frac{1}{x}+1}\le\frac{2}{2\sqrt{x.\frac{1}{x}}+1}=\frac{2}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=1\)

ko bit

lạy thánh ko biết cũng trả lời rảnh