A. Nếu không có trận hòa (mỗi trận luôn phân thắng bại)

• Tổng số đội là \(N\). Số trận là \(\left(\right. \frac{N}{2} \left.\right)\).
• Mỗi trận phân thắng bại đem 3 điểm (3 cho thắng, 0 cho thua), nên tổng điểm toàn giải là
  \(S_{t o \overset{ˋ}{a} n} = 3 \left(\right. \frac{N}{2} \left.\right) = \frac{3 N \left(\right. N - 1 \left.\right)}{2} .\)
• Theo đề, ba đội đứng đầu có điểm \(15 , 12 , 12\). Các đội xếp sau có tổng điểm đôi một khác nhau và tất nhiên < 12 (không thể ≥12 vì thứ tự xếp hạng).
• Các điểm phải là bội của \(3\) (vì không có hòa). Các giá trị khả dĩ nhỏ hơn \(12\) là \(9 , 6 , 3 , 0 , \ldots\) (không âm).
• Số đội còn lại là \(N - 3\). Vì họ có tổng điểm đôi một khác nhau, số lượng giá trị bội 3 nhỏ hơn \(12\) khả dĩ hữu hạn: \({.9,6,3,0\left.\right.}\) → chỉ có 4 giá trị khác nhau. Vậy \(N - 3 \leq 4 \Rightarrow N \leq 7\).
• Đồng thời từ \(15 \leq 3 \left(\right. N - 1 \left.\right)\) ta có \(N \geq 6\). Thử \(N = 6\) và \(N = 7\):
• • Nếu \(N = 6\): các điểm (khả dĩ) có thể là \(15 , 12 , 12 , 9 , 6 , 3\) — tổng là \(57\). Nhưng tổng điểm phải là \(3 \left(\right. \frac{6}{2} \left.\right) = 45\). Mâu thuẫn.
  • Nếu \(N = 7\): còn 4 đội sau, lớn nhất khả dĩ là \({.9,6,3,0\left.\right.}\) (bội của 3, khác nhau). Tổng cả giải sẽ là \(15 + 12 + 12 + 9 + 6 + 3 + 0 = 57\). Nhưng tổng điểm cần là \(3 \left(\right. \frac{7}{2} \left.\right) = 63\). Còn mâu thuẫn (57 ≠ 63).

=> Vậy không tồn tại \(N\) thỏa khi giả thiết “không có hòa” đúng. Kết luận: đề như viết là mâu thuẫn — hoặc câu “không có trận hòa” là sai/nhầm, hoặc một số thông tin khác bị ghi nhầm.

B. Nếu cho phép có trận hòa (bỏ câu “không có trận hòa”)

Nhiều bài tương tự thực tế cho phép hòa; trong trường hợp đó ta có thể tìm ra \(N\) và bảng điểm. Ta làm như sau:

• Tổng điểm toàn giải khi có hòa nằm giữa \(2 \left(\right. \frac{N}{2} \left.\right)\) (nếu tất cả hòa: mỗi trận 2 điểm tổng) và \(3 \left(\right. \frac{N}{2} \left.\right)\) (nếu tất cả phân thắng bại).
• Ta vẫn có 3 đội đầu: \(15 , 12 , 12\). Các đội sau có tổng điểm đôi một khác nhau (nhưng bây giờ không bắt buộc là bội của 3).
• Như ở trên, vì các đội sau không thể có điểm ≥12 (thứ tự), số lượng khác nhau các giá trị khả dĩ ≤9 là bao nhiêu? Nếu ta muốn nhiều đội nhất với các giá trị riêng biệt ta có thể dùng \(9 , 6 , 3 , 0\) — tức tối đa 4 đội sau. Vậy \(N \leq 7\). Kết hợp với bất kỳ ràng buộc trước đó, ta tìm \(N = 7\) là ứng viên duy nhất.
• Với \(N = 7\): tổng điểm toàn giải theo công thức trận * 3 là \(3 \left(\right. \frac{7}{2} \left.\right) = 63\).
  Nếu ta lấy điểm các đội là \(15 , 12 , 12 , 9 , 6 , 3 , 0\) thì tổng là \(57\). Để từ tổng lý thuyết 63 giảm xuống 57 cần tổng bị giảm \(6\) điểm so với tình huống tất cả trận phân thắng bại. Mỗi trận hòa giảm 1 điểm tổng so với một trận phân thắng bại (vì hòa cho 1+1=2 thay vì 3). Do đó cần 6 trận hòa trong giải để đạt tổng 57. Đây là hoàn toàn khả thi.

Vậy nếu cho phép hòa, một lời giải hợp lý là:

• \(N = 7\).
• Điểm các đội (theo thứ tự) là: \(\boxed{15 , \textrm{ }\textrm{ } 12 , \textrm{ }\textrm{ } 12 , \textrm{ }\textrm{ } 9 , \textrm{ }\textrm{ } 6 , \textrm{ }\textrm{ } 3 , \textrm{ }\textrm{ } 0}\).
• Số trận hòa trong toàn giải bằng \(6\) (để tổng điểm bằng 57). Bạn có thể xây dựng một lịch kết quả cụ thể (chẳng hạn bố trí sao cho đội nhất thắng hết, hai đội nhì và ba thua chỉ trước nhất nhưng thắng các đội thấp hơn, và bố trí 6 trận giữa các đội dưới để là hòa) — nếu bạn muốn mình sẽ cho một bảng kết quả khả dĩ.

Kết luận ngắn gọn

• Với đúng văn bản bạn gửi (có câu “không có trận hòa”), đề mâu thuẫn ⇒ không thể tìm \(N\).
• Nếu bỏ câu “không có trận hòa” (tức cho phép có hòa), đáp án hợp lý là \(N = 7\) với điểm các đội \(\textrm{ }\textrm{ } 15 , 12 , 12 , 9 , 6 , 3 , 0\) (và cần đúng 6 trận hòa để tổng điểm khớp).

Bạn muốn mình tiếp theo:

• (1) Xây dựng một lịch kết quả cụ thể cho \(N = 7\) chứng minh các điểm trên (mình sẽ liệt kê kết quả từng trận), hay
• (2) Giải thích chi tiết hơn vì sao \(N \geq 7\) ban đầu, hoặc
• (3) Bạn muốn mình kiểm tra phiên bản gốc đề (chụp rõ hơn) để xem chỗ nào bị nhầm?