Giả sử ngược lại, rằng tồn tại số nguyên \(n\) sao cho cả hai phân số

\(\frac{n + 2}{13} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{n - 4}{13}\)

đều là số nguyên.

📌 Bước 1: Đặt điều kiện chia hết

Nếu \(\frac{n + 2}{13} \in \mathbb{Z}\), thì:

\(n + 2 \equiv 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \Rightarrow n \equiv - 2 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)

Nếu \(\frac{n - 4}{13} \in \mathbb{Z}\), thì:

\(n - 4 \equiv 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \Rightarrow n \equiv 4 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)

❌ Mâu thuẫn

Từ hai điều trên, ta suy ra:

\(n \equiv - 2 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} n \equiv 4 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)

Nhưng điều này vô lý, vì \(- 2 ≢ 4 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\) (vì \(- 2 \equiv 11 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\), còn 4 thì vẫn là 4).

→ Vậy ta có:

\(11 ≢ 4 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \Rightarrow \text{M} \hat{\text{a}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{thu} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{x}ả\text{y}\&\text{nbsp};\text{ra}\)

✅ Kết luận:

Giả sử rằng cả \(\frac{n + 2}{13}\) và \(\frac{n - 4}{13}\) đều là số nguyên đã dẫn đến mâu thuẫn.

Do đó, không tồn tại số nguyên nào mà cả hai biểu thức này đều là số nguyên.

Hay:

\(\boxed{\frac{n + 2}{13} \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \frac{n - 4}{13} \&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{th}ể\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{th}ờ\text{i}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}.}\)

rồi nè ku