b: \(=\dfrac{2014\cdot2015^2+2014\cdot2016-2016\cdot2015^2+2016\cdot2014}{2014\cdot2013^2-2014\cdot2012-2012\cdot2013^2-2012\cdot2014}\)

\(=\dfrac{2015^2\cdot\left(-2\right)+2\cdot\left(2015^2-1\right)}{2013^2\cdot\left(-2\right)-2\cdot\left(2013^2-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(-2\right)\cdot\left(2015^2-2015^2+1\right)}{\left(-2\right)\cdot\left(2013^2+2013^2-1\right)}=\dfrac{1}{2\cdot2013^2}\)

Bài 2 :

a) \(P=x^2+y^2+xy+x+y\)

\(2P=2x^2+2y^2+2xy+2x+2y\)

\(2P=x^2+2xy+y^2+x^2+2x+1+y^2+2y+1-2\)

\(2P=\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2\)

\(P=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-2}{2}\)

\(P=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-1\le-1\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\x+1=0\\y+1=0\end{cases}}\)

Mình nghĩ đề phải là tìm GTLN của \(P=x^2+y^2+xy+x-y\)hoặc đổi dấu x và y thì dấu "=" mới xảy ra đc

@ Phương ơi ! Cái dòng \(P=\)cuối ấy . Chỗ đấy là \(\ge-1\)em nhé!

Đặt \(A=x^2+2y^2+2xy+2x+4y-1\)

\(A=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2y\right)+\left(2x+2y\right)-1\)

\(A=\left[\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+1\right]+\left(y^2+2y+1\right)-3\)

\(A=\left(x+y+1\right)^2+\left(y+1\right)^2-3\ge-3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x+y+1\right)^2=0\\\left(y+1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}}}\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(-3\) khi \(x=0\) và \(y=-1\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Đặt \(B=-x^2-2x-y^2-8y-10\)

\(-B=\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+8y+16\right)-7\)

\(-B=\left(x+1\right)^2+\left(y+4\right)^2-17\ge-17\)

\(B=-\left(x+1\right)^2-\left(y+4\right)^2+17\le17\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}-\left(x+1\right)^2=0\\-\left(y+4\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-4\end{cases}}}\)

Vậy GTLN của \(B\) là \(17\) khi \(x=-1\) và \(y=-4\)

Chúc bạn học tốt ~ 

1. Gom nhóm và sắp xếp lại

\(A = - x^{2} - 2 y^{2} + 2 x y + 2 x - 4 y + 100\)

Nhóm thành:

\(A = - \left(\right. x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} \left.\right) + 2 x - 4 y + 100\)

2. Nhận dạng hằng đẳng thức

\(x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} = \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + y^{2}\)

Suy ra:

\(A = - \left(\right. \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + y^{2} \left.\right) + 2 x - 4 y + 100\) \(A = - \left(\right. x - y \left.\right)^{2} - y^{2} + 2 x - 4 y + 100\)

3. Đặt ẩn phụ

Đặt \(u = x - y \textrm{ }\textrm{ } \Rightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = u + y\).

Thay vào:

\(A = - u^{2} - y^{2} + 2 \left(\right. u + y \left.\right) - 4 y + 100\) \(A = - u^{2} - y^{2} + 2 u + 2 y - 4 y + 100\) \(A = - u^{2} - y^{2} + 2 u - 2 y + 100\)

4. Phân tích theo từng biến

\(A \left(\right. u , y \left.\right) = - \left(\right. u^{2} - 2 u \left.\right) - \left(\right. y^{2} + 2 y \left.\right) + 100\) \(= - \left(\right. u^{2} - 2 u + 1 \left.\right) + 1 - \left(\right. y^{2} + 2 y + 1 \left.\right) + 1 + 100\) \(= - \left(\right. u - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} + 102\)

5. Tìm giá trị lớn nhất

• Vì \(- \left(\right. u - 1 \left.\right)^{2} \leq 0\) và \(- \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} \leq 0\), nên giá trị lớn nhất đạt được khi

\(u - 1 = 0 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} y + 1 = 0\)

Tức là \(u = 1 , y = - 1\).

• Khi đó:

Amax⁡=102A_{\max} = 102Amax​=102

✅ Đáp số:

Amax⁡=102A_{\max} = 102Amax​=102

(Đạt được khi \(x = u + y = 1 + \left(\right. - 1 \left.\right) = 0 , \textrm{ }\textrm{ } y = - 1\))

cho x>0,y>0,x+y=2018

\(B=\dfrac{2x^2+8xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{2x^2+4xy+4xy+2y^2}{x^2+2xy+y^2}\\ =\dfrac{\left(2x^2+4xy+2y^2\right)+4xy}{x^2+2xy+y^2}\\ =\dfrac{2\left(x^2+2xy+y^2\right)}{x^2+2xy+y^2}+\dfrac{4xy}{x^2+2xy+y^2}\\ =2+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\)

Áp dụng BDT Cô-si : \(4xy\le\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow B=2+\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)^2}\le2+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}\le2+1\le3\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(x=y\)

Vậy \(B_{\left(Max\right)}=3\) khi \(x=y\)