Câu hỏi của Hoàng Mạnh Dũng

Question

Cho n thuộc N*:Tính tổng : n^2+(n+2)^2+(n+4)^2+...+(n+100)^2

Nguyễn Duy Anh · Accepted Answer

Bài toán:

$S = n^{2} + \left(\right. n + 2 \left.\right)^{2} + \left(\right. n + 4 \left.\right)^{2} + \hdots + \left(\right. n + 100 \left.\right)^{2} , n \in \mathbb{N}^{*}$

Bước 1: Xác định số hạng

Các số hạng có dạng:

$\left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2} , k = 0 , 1 , 2 , \ldots , 50$

(vì từ $0$ đến $100$ cách nhau 2 thì có $\frac{100}{2} = 50$ bước, tức 51 số hạng).

Bước 2: Viết tổng

$S = \sum_{k = 0}^{50} \left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2}$

Khai triển:

$\left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2} = n^{2} + 4 n k + 4 k^{2}$

Nên:

$S = \sum_{k = 0}^{50} \left(\right. n^{2} + 4 n k + 4 k^{2} \left.\right)$

Bước 3: Tách tổng

$S = \sum_{k = 0}^{50} n^{2} + \sum_{k = 0}^{50} 4 n k + \sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2}$

$\sum_{k = 0}^{50} n^{2} = 51 n^{2}$
$\sum_{k = 0}^{50} 4 n k = 4 n \cdot \frac{50 \cdot 51}{2} = 4 n \cdot 1275 = 5100 n$
$\sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2} = 4 \cdot \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6}$

Bước 4: Tính $\sum k^{2}$

$\sum_{k = 0}^{50} k^{2} = \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} = 42925$

Vậy:

$\sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2} = 4 \cdot 42925 = 171700$

Bước 5: Kết quả cuối

$S = 51 n^{2} + 5100 n + 171700$

👉 Vậy tổng cần tìm là:

$\boxed{S = 51 n^{2} + 5100 n + 171700}$

Câu trả lời:

Bài toán:

$S = n^{2} + \left(\right. n + 2 \left.\right)^{2} + \left(\right. n + 4 \left.\right)^{2} + \hdots + \left(\right. n + 100 \left.\right)^{2} , n \in \mathbb{N}^{*}$

Bước 1: Xác định số hạng

Các số hạng có dạng:

$\left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2} , k = 0 , 1 , 2 , \ldots , 50$

(vì từ $0$ đến $100$ cách nhau 2 thì có $\frac{100}{2} = 50$ bước, tức 51 số hạng).

Bước 2: Viết tổng

$S = \sum_{k = 0}^{50} \left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2}$

Khai triển:

$\left(\right. n + 2 k \left.\right)^{2} = n^{2} + 4 n k + 4 k^{2}$

Nên:

$S = \sum_{k = 0}^{50} \left(\right. n^{2} + 4 n k + 4 k^{2} \left.\right)$

Bước 3: Tách tổng

$S = \sum_{k = 0}^{50} n^{2} + \sum_{k = 0}^{50} 4 n k + \sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2}$

$\sum_{k = 0}^{50} n^{2} = 51 n^{2}$
$\sum_{k = 0}^{50} 4 n k = 4 n \cdot \frac{50 \cdot 51}{2} = 4 n \cdot 1275 = 5100 n$
$\sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2} = 4 \cdot \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6}$

Bước 4: Tính $\sum k^{2}$

$\sum_{k = 0}^{50} k^{2} = \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6} = 42925$

Vậy:

$\sum_{k = 0}^{50} 4 k^{2} = 4 \cdot 42925 = 171700$

Bước 5: Kết quả cuối

$S = 51 n^{2} + 5100 n + 171700$

👉 Vậy tổng cần tìm là:

$\boxed{S = 51 n^{2} + 5100 n + 171700}$

Bước 1: Xác định số hạng

Bước 2: Viết tổng

Bước 3: Tách tổng

Bước 4: Tính \(\sum k^{2}\)

Bước 5: Kết quả cuối

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bước 1: Xác định số hạng

Bước 2: Viết tổng

Bước 3: Tách tổng

Bước 4: Tính \(\sum k^{2}\)

Bước 5: Kết quả cuối

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP