Bài 6:

a: ĐKXĐ: x∉{0;2}

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x+2}{x-2}\)

=>\(\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}+\frac{2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)}\)

=>\(x-2+2=x\left(x+2\right)\)

=>x(x+2)=x

=>x(x+2)-x=0

=>x(x+2-1)=0

=>x(x+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\left(loại\right)\\ x+1=0\end{array}\right.\Rightarrow x+1=0\)

=>x=-1(nhận )

b: ĐKXĐ: y∉{0;-5;5}

Ta có: \(\frac{y+5}{y^2-5y}-\frac{y-5}{2y^2+10y}=\frac{y+25}{2y^2-50}\)

=>\(\frac{y+5}{y\left(y-5\right)}-\frac{y-5}{2y\left(y+5\right)}=\frac{y+25}{2\left(y-5\right)\left(y+5\right)}\)

=>\(\frac{2\left(y+5\right)^2}{2y\left(y+5\right)\left(y-5\right)}-\frac{\left(y-5\right)^2}{2y\left(y+5\right)\left(y-5\right)}=\frac{y\left(y+25\right)}{2y\left(y+5\right)\left(y-5\right)}\)

=>\(2\left(y+5\right)^2-\left(y-5\right)^2=y\left(y+25\right)\)

=>\(2y^2+20y+50-y^2+10y-25=y^2+25y\)

=>\(y^2+30y+25=y^2+25y\)

=>5y=-25

=>y=-5(loại)

Bài 7:

a: ĐKXĐ: x<>1

\(\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4}{x^2+x+1}\)

=>\(\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{4}{x^2+x+1}\)

=>\(\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x^2-5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

=>\(x^2+x+1+2x^2-5=4\left(x-1\right)\)

=>\(3x^2+x-4=4x-4\)

=>\(3x^2-3x=0\)

=>3x(x-1)=0

=>x(x-1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\left(nhận\right)\\ x=1\left(loại\right)\end{array}\right.\)

b: ĐKXĐ: x<>2

Ta có: \(\frac{2x^2}{x^3-8}+\frac{x+1}{x^2+2x+4}=\frac{3}{x-2}\)

=>\(\frac{2x^2}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}+\frac{\left(x+1\right)}{x^2+2x+4}=\frac{3}{x-2}\)

=>\(\frac{2x^2}{\left(x-2\right)\cdot\left(x^2+2x+4\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}=\frac{3\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\)

=>\(2x^2+\left(x+1\right)\left(x-2\right)=3\left(x^2+2x+4\right)\)

=>\(2x^2+x^2-x-2=3x^2+6x+12\)

=>6x+12=-x-2

=>7x=-14

=>x=-2(nhận)

c: ĐKXĐ: x∉{1;4}

Ta có: \(\frac{2x+1}{x^2-5x+4}+\frac{5}{x-1}=\frac{2}{x-4}\)

=>\(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}+\frac{5}{x-1}=\frac{2}{x-4}\)

=>\(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}+\frac{5\left(x-4\right)}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}=\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}\)

=>2x+1+5(x-4)=2(x-1)

=>2x+1+5x-20=2x-2

=>7x-19=2x-2

=>5x=17

=>\(x=\frac{17}{5}\) (nhận)

Bài 1:

a: \(\left(x-4\right)^3=\left(x+4\right)\left(x^2-x-16\right)\)

=>\(x^3-12x^2+48x-64=x^3-x^2-16x+4x^2-4x-64\)

=>\(x^3-12x^2+48x-64=x^3+3x^2-20x-64\)

=>\(-15x^2+68x=0\)

=>x(-15x+68)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ -15x+68=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{68}{15}\end{array}\right.\)

b: ĐKXĐ: x∉{0;-2}

Ta có: \(\frac{x+2}{x}=\frac{x^2+5x+4}{x^2+2x}+\frac{x}{x+2}\)

=>\(\frac{x+2}{x}=\frac{x^2+5x+4}{x\left(x+2\right)}+\frac{x}{x+2}\)

=>\(\frac{\left(x+2\right)^2}{x\left(x+2\right)}=\frac{x^2+5x+4}{x\left(x+2\right)}+\frac{x^2}{x\left(x+2\right)}\)

=>\(x^2+5x+4+x^2=\left(x+2\right)^2=x^2+4x+4\)

=>\(2x^2+5x+4-x^2-4x-4=0\)

=>\(x^2+x=0\)

=>x(x+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ x+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\left(loại\right)\\ x=-1\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

c: ĐKXĐ: x∉{2;-2}

Ta có: \(\frac{x+1}{x-2}-\frac{5}{x+2}=\frac{12}{x^2-4}+1\)

=>\(\frac{\left(x+1\right)}{x-2}-\frac{5}{x+2}=\frac{12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-1\)

=>\(\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)-5\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{12-\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

=>\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)-5\left(x-2\right)=12-\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)

=>\(x^2+3x+2-5x+10=12-\left(x^2-4\right)\)

=>\(x^2-2x+12=12-x^2+4\)

=>\(x^2-2x+12=-x^2+16\)

=>\(2x^2-2x-4=0\)

=>\(x^2-x-2=0\)

=>(x-2)(x+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\left(loại\right)\\ x=-1\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

Bài 2:

Gọi số học sinh giỏi là x(bạn)

(Điều kiện: x∈N*)

Số học sinh khá là \(\frac52x\) (bạn)

Số học sinh giỏi sau khi thêm 10 bạn là x+10(bạn)

Số học sinh khá sau khi bớt đi 6 bạn là \(\frac52x-6\) (bạn)

Số học sinh khá sẽ gấp 2 lần số học sinh giỏi nên ta có:

\(\frac52x-6=2\left(x+10\right)\)

=>2,5x-6=2x+20

=>0,5x=26

=>x=52(nhận)

vậy: Số học sinh giỏi là 52 bạn

18: Gọi thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là x(giờ) và y(giờ)

(ĐIều kiện: x>0; y>0)

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được: \(\frac{1}{y}\) (công việc)

Trong 1 giờ, hai người làm được: \(\frac{1}{16}\) (công việc)

Do đó, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\left(1\right)\)

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được: \(3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\) (công việc)

Trong 6 giờ, người thứ hai làm được: \(6\cdot\frac{1}{y}=\frac{6}{y}\) (công việc)

Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì hai người làm được 25% công việc nên ta có: \(\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac14\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac14\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{6}{x}+\frac{6}{y}=\frac{6}{16}=\frac38\\ \frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac14\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}\frac{6}{x}+\frac{6}{y}-\frac{3}{x}-\frac{6}{y}=\frac38-\frac14=\frac18\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{3}{x}=\frac18\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=24\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{16}-\frac{1}{24}=\frac{3}{48}-\frac{2}{48}=\frac{1}{48}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=24\\ y=48\end{cases}\) (nhận)

Vậy: thời gian người thứ nhất và người thứ hai hoàn thành công việc khi làm một mình lần lượt là 24(giờ) và 48(giờ)

17: Gọi khối lượng thóc đơn vị thứ nhất và đơn vị thứ hai thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x(tấn) và y(tấn)

(Điều kiện: x>0; y>0)

Năm nay, đơn vị thứ nhất sản xuất được: \(x\left(1+15\%\right)=1,15x\) (tấn)

Năm nay, đơn vị thứ hai sản xuất được:

\(y\left(1+12\%\right)=1,12y\) (tấn)

Năm nay, hai đơn vị sản xuất được 4095 tấn thóc nên 1,15x+1,12y=4095(1)

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất được 3600 tấn thóc nên x+y=3600(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}1,15x+1,12y=4095\\ x+y=3600\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}1,15x+1,12y=4095\\ 1,15x+1,15y=4140\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}1,15x+1,15y-1,15x-1,12y=4140-4095=45\\ x+y=3600\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}0,03y=45\\ x+y=3600\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=45:0,03=1500\\ x=3600-1500=2100\end{cases}\) (nhận)

Năm nay, đơn vị thứ nhất sản xuất được: \(2100\cdot1,15=2415\) tấn
năm nay, đơn vị thứ hai sản xuất được: \(1500\cdot1,12=1680\) (tấn)

Bài 4:

a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1

b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)

Bài 5:

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

Bài 6:

Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)

Bài 3:

a: ĐKXĐ: a>0; b>0; a<>b

b: \(A=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=-2\sqrt{b}\)