a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.$

1. Tập xác định:

Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên trên đoạn $\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.$ thì hàm hoàn toàn xác định.

2. Đạo hàm:

Ta cần xét đạo hàm để lập bảng biến thiên:

$f \left(\right. x \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) \Rightarrow f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 2 \cdot \frac{d}{d x} \left[\right. sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) \left]\right. = 2 \cdot 2 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)$

3. Xét dấu của đạo hàm trên đoạn $\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.$:

$f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)$
Ta xét dấu của $cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)$ trên đoạn $\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.$

Bảng xét dấu của $cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)$:

Biến đổi đoạn $\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.$ thành:

Khi $x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = - \pi \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. - \pi \left.\right) = - 1$
Khi $x = 0 \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. 0 \left.\right) = 1$
Khi $x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = \pi \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. \pi \left.\right) = - 1$

➡ $cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)$ dương trên khoảng $\left(\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left.\right)$, âm ở hai bên.

Kết luận về tính đơn điệu của hàm số:

Hàm giảm trên $\left[\right. - \frac{\pi}{2} , - \frac{\pi}{4} \left]\right.$
Hàm tăng trên $\left[\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left]\right.$
Hàm giảm trên $\left[\right. \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2} \left]\right.$

4. Tính giá trị tại các điểm đặc biệt:

$f \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. - \pi \left.\right) = 0$
$f \left(\right. - \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. - 1 \left.\right) = - 2$
$f \left(\right. 0 \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. 0 \left.\right) = 0$
$f \left(\right. \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. 1 \left.\right) = 2$
$f \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. \pi \left.\right) = 0$

b) Vẽ đồ thị hàm số $y = 2 sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)$ trên đoạn $\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.$

1. Một số điểm đặc biệt trên đồ thị:

$x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0$
$x = - \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = - 2$
$x = 0 \Rightarrow y = 0$
$x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = 2$
$x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0$

2. Đặc điểm của đồ thị:

Dạng sóng hình sin, nhưng bị nén theo trục hoành (vì có hệ số 2 trong sin(2x))
Biên độ: 2
Chu kỳ: $T = \frac{2 \pi}{2} = \pi$
Trên đoạn $\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.$, ta thấy đúng nửa chu kỳ

👉 Cách vẽ đồ thị (gợi ý):

Vẽ trục tọa độ $O x y$
Đánh dấu các điểm:
- $\left(\right. - \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)$
- $\left(\right. - \frac{\pi}{4} , - 2 \left.\right)$
- $\left(\right. 0 , 0 \left.\right)$
- $\left(\right. \frac{\pi}{4} , 2 \left.\right)$
- $\left(\right. \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)$
Nối các điểm bằng đường cong mềm mại (dạng sóng sin)
Chú thích các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (2 và -2), các điểm uốn tại $x = 0$