Tứ giác \(A B C D\) có \(\hat{A} - \hat{B} = 50^{\circ}\). Các tia phân giác của \(\hat{C} , \hat{D}\) cắt nhau tại \(I\). Tính \(\hat{A} , \hat{B}\).

• Gọi \(\hat{A} = a , \textrm{ }\textrm{ } \hat{B} = b , \textrm{ }\textrm{ } \hat{C} = c , \textrm{ }\textrm{ } \hat{D} = d\).
• Ta có: \(a - b = 50^{\circ}\).
• Trong tứ giác: \(a + b + c + d = 360^{\circ}\).
• Vì \(I\) là giao điểm phân giác \(\hat{C} , \hat{D}\) nên:
  \(\hat{C I D} = \frac{1}{2} \left(\right. c + d \left.\right)\).
• Mà \(\hat{C I D} = 90^{\circ} \Rightarrow c + d = 180^{\circ}\).
• Thay vào: \(a + b = 180^{\circ}\).
• Giải hệ:

a+b=180∘
a−b=50∘​  
⇒a=115∘,b=65∘.\(\)

Đáp số: \(\hat{A} = 115^{\circ} , \textrm{ }\textrm{ } \hat{B} = 65^{\circ}\).
xin tick. cảm ơnnn

a) xét tam giác AOD và tam giác BOC ta có :

góc OAD = góc BOC ( góc CAD= góc DBC )

Góc AOD = góc BOC ( 2 góc đối đỉnh ) 

=> tam giác AOD đồng dạng với tam giác BOC ( góc - góc) 

b) vì tam giác AOD đồng dạng cới tam giác BOC (chứng minh trên )

=> AO/BO =OD/OC <=> OA/OD= OB/OC 

c ) xét tam giác AOB và tam giác DOC ta có :

Góc AOB = góc DOC ( 2 góc đối đỉnh ) 

mà AO / OB=OB/OC ( chứng minh trên )

=> tam giác AOB đồng dạng với tam giác DOC ( cạnh -góc -cạnh )

a) + ∆ABO có  IM // AO

⇒ OB/IB = AO/IM   (1)

+ ∆IDP có AO // IP

⇒ ID/OD = IP/OA (2)

Nhân (1) với (2), ta được :

OB/IB . ID/OD = AO/IM . IP/OA ⇔ ID/IB . OB/OD = IP/IM (ĐPCM)

b) + ∆OBC có IN // OC

⇒ BO/IB = OC/IN (3)

+ ∆DQI có OC // IQ ⇒ ID/OD = IQ/OC (4)

Nhân (3) với (4) , ta được :

BO/IB . ID/OD = OC/IN . IQ/OC ⇔ ID/IB . OB/OD = IQ/IN (5) 

+ Theo câu a) , ta có : ID/IB . OB/OD = IP/IM (6)

Từ (5) và (6) suy ra :  IP/IM = IQ/IN  (dpcm)

a) \(\Delta\)AOB có: MI //AO \(\Rightarrow\frac{MI}{AO}=\frac{IB}{OB}\)

\(\Delta\)DPI có: AO//IP

\(\Rightarrow\frac{OA}{IP}=\frac{OD}{ID}\)

\(\Rightarrow\frac{MI}{AO}\cdot\frac{AO}{IP}=\frac{IB}{BO}\cdot\frac{OD}{IID}\)

\(\Rightarrow\frac{MI}{IP}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\)

b) \(\Delta DIQ\)có: OC // IQ \(\Rightarrow\frac{OC}{IQ}=\frac{OD}{ID}\left(1\right)\)

\(\Delta BOC\)có: IN//OC \(\Rightarrow\frac{IN}{DC}=\frac{BI}{BD}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{OC}{IQ}=\frac{IN}{OC}=\frac{OD}{ID}\cdot\frac{BI}{BO}\\\frac{IN}{IQ}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\end{cases}}\)

Theo câu (a) có: \(\frac{IM}{IP}=\frac{IB}{ID}\cdot\frac{OD}{OB}\)

\(\Rightarrow\frac{IM}{IP}=\frac{IN}{IQ}\left(đpcm\right)\)

Hi vọng bạn có kiến thức vững về BĐT tam giác nha, mấy bài này toàn BĐT tam giác thoi, mình ko chứng minh lại đâu.

Bài 3:

a) Xét tam giác AOB: \(OB>AB-AO\)

Xét tam giác DOC: \(OD>DC-OC\)

Cộng vế theo vế: \(OB+OD>AB+DC-\left(AO+OC\right)\Leftrightarrow BD>AB+DC-AC\Leftrightarrow BD+AC>AB+DC\)

b) Hoàn toàn tương tự với 2 tam giác AOD và BOC:

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}OD>AD-AO\\OB>BC-OC\end{cases}\Rightarrow BD>AD+BC-AC\Leftrightarrow BD+AC>AD+BC}\)

Bài 4: 

a) Từ câu 3 ta có \(\hept{\begin{cases}BD+AC>AB+CD\\BD+AC>AD+BC\end{cases}}\)Cộng vế theo vế:

\(\Rightarrow2\left(BD+AC\right)>AB+BC+CD+DA=P_{ABCD}\Rightarrow BD+AC>\frac{P_{ABCD}}{2}\)

b) Câu này thực ra không cần đề cho trước \(AC< \frac{P_{ABCD}}{2}\)đâu, vì đây là điều hiển nhiên mà

Xét 2 tam giác ABC và ADC: \(\hept{\begin{cases}AC< AB+BC\\AC< AD+DC\end{cases}}\)cộng vế theo vế:

\(\Rightarrow2AC< AB+BC+CD+DA=P_{ABCD}\Rightarrow AC< \frac{P_{ABCD}}{2}\)(1)

Hoàn toàn tương tự với 2 tam giác ABD và CBD \(\Rightarrow BD< \frac{P_{ABCD}}{2}\)(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế: \(AC+BD< P_{ABCD}\)