Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta cần giải phương trình:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản
Đặt:
\(a = x^{3} , b = \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} , v \overset{ˊ}{\hat{e}} p h ả i = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Nhưng tốt hơn, ta giải trực tiếp.
Bước 2: Nhớ hằng đẳng thức lập phương
Ta có:
\(\left(\right. a + b \left.\right)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b \left(\right. a + b \left.\right)\)
Ở đây không cần mở theo tổng lập phương, mà chỉ cần khai triển:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Khai triển \(\left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3}\):
\(\left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = 1 - 3 x^{2} + 3 x^{4} - x^{6}\)
Khi đó:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{3} + 1 - 3 x^{2} + 3 x^{4} - x^{6}\)
Vế trái là:
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1\)
Vế phải:
\(x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right) = x^{2} - x^{4}\)
Bước 3: Chuyển vế
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1 - \left(\right. x^{2} - x^{4} \left.\right) = 0\)
Rút gọn:
\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1 - x^{2} + x^{4} = 0\)\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Bước 4: Viết lại phương trình
\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Ta thử tìm nghiệm nguyên trước.
Bước 5: Thử nghiệm nguyên
Thử \(x = 0\):
\(0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1 \neq 0\)
Thử \(x = 1\):
\(- 1 + 4 + 1 - 4 + 1 = 1 \neq 0\)
Thử \(x = - 1\):
\(- 1 + 4 - 1 - 4 + 1 = - 1 \neq 0\)
Thử \(x = 2\):
\(- 64 + 4 \times 16 + 8 - 16 + 1 = - 64 + 64 + 8 - 16 + 1 = - 7 \neq 0\)
Thử \(x = 3\):
\(- 729 + 4 \times 81 + 27 - 36 + 1 = - 729 + 324 + 27 - 36 + 1 = - 413 \neq 0\)
Bước 6: Thử đặt ẩn phụ
Đặt \(y = x^{2} \Rightarrow x^{3} = x \cdot x^{2} = x \cdot y\)
Phương trình gốc:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Thành:
\(x \cdot y + \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3} = y \left(\right. 1 - y \left.\right)\)
Giải phương trình:
\(x \cdot y + \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3} = y \left(\right. 1 - y \left.\right) \Rightarrow x \cdot y = y \left(\right. 1 - y \left.\right) - \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3}\)
Rút gọn vế phải:
\(\left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - \left(\right. 1 - y \left.\right)^{2} \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - \left(\right. 1 - 2 y + y^{2} \left.\right) \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - 1 + 2 y - y^{2} \left]\right.\)\(= \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. 3 y - 1 - y^{2} \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right)\)
Vậy:
\(x \cdot y = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right) \Rightarrow x = \frac{\left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right)}{y}\)
Nhưng phương trình này phức tạp và không đơn giản hóa được dễ dàng. Quay lại tìm nghiệm gần đúng hoặc nghiệm đặc biệt.
Bước 7: Dùng phương pháp thử số
Ta có:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Thử \(x = 0.5\):
Vế trái:
\(\left(\right. 0.5 \left.\right)^{3} + \left(\right. 1 - 0.25 \left.\right)^{3} = 0.125 + \left(\right. 0.75 \left.\right)^{3} \approx 0.125 + 0.422 = 0.547\)
Vế phải:
undefined
Dùng máy tính hoặc công cụ giải số, ta tìm được:
- Một nghiệm gần x ≈ 0.328
- Ngoài ra có thể có nghiệm phức
✅ Kết luận:
Phương trình:
\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)
Tương đương với:
\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)
Không có nghiệm nguyên. Có ít nhất một nghiệm thực xấp xỉ:
\(x \approx 0.328\)
a)DK:x>0.
->\(\sqrt[3]{x^2}\) =20+\(\sqrt[3]{x}\) \(\ge\)20
->DK:\(\sqrt[3]{x}\)\(\ge\) \(\sqrt{20}\) >\(\frac{3}{2}\).
Đặt :\(\sqrt[3]{x}\) =a (a\(\ge\)\(\sqrt{20}\)>\(\frac{3}{2}\) ).
Khi đó ta có phương trình sau:
a2-3a=20.
Giải ra ta có:(a-\(\frac{3}{2}\))2=\(\frac{89}{4}\) mà a>\(\frac{3}{2}\) nên a-\(\frac{3}{2}\) >0.
hay a-\(\frac{3}{2}\) =\(\frac{\sqrt{89}}{2}\).
->a=\(\frac{\sqrt{89}+3}{2}\) (tm).
hay x=(\(\frac{\sqrt{89}+3}{2}\))3 (tm).
Vậy...
b)DK:x\(\varepsilon\) R.
Đặt:\(\sqrt{x^2+1}\)=a (a\(\ge\)1) ; 2x-1=b.->4x-1=2b+1.
Khi đó ta có được phương trình sau:
a.(2b+1)=2a2+b.
<->2ab+a=2a2+b.
<->2a2-2ab-a+b=0.
<->2a(a-b)-(a-b)=0
<->(2a-1).(a-b)=0 mà a\(\ge\)1->2a-1>0.
<->a=b
->a2=b2 hay x2+1=(2x-1)2
Giải ra ta có:3x2-4x=0.
hay x.(3x-4)=0.
<->\(\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x=\frac{4}{3}\left(tm\right)\end{cases}}\)
Vậy...
c)DK:x\(\ge\) 2.
->\(\sqrt{\left(x+1\right).\left(x-2\right)}\) -2\(\sqrt{x-2}\)=\(\sqrt{x-1}\)
->DK:x>3.
tối rồi buồn ngủ không giải nữa.
d)\(2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}\)
ĐK:\(x\ge-3\)
\(\Leftrightarrow4x^4+16x^3+16x^2=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8x^4+32x^3+32x^2-x-3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow8x^4+32x^3+32x^2-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2+3x-1\right)\left(4x^2+10x+3\right)=0\)
d)\(2x^2+4x=\sqrt{\frac{x+3}{2}}\)
ĐK:\(x\ge-3\)
\(\Leftrightarrow4x^4+16x^3+16x^2=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8x^4+32x^3+32x^2-x-3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow8x^4+32x^3+32x^2-x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2+3x-1\right)\left(4x^2+10x+3\right)=0\)
a)
Đặt \(\sqrt[3]{x}=a\). Khi đó pt trở thành:
\(a^2-3a=20\)
\(\Leftrightarrow a^2-3a+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{89}{4}\)
\(\Leftrightarrow (a-\frac{3}{2})^2=\frac{89}{4}\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} a-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{89}}{2}\\ a-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{89}}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} a=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{89}}{2}\\ a=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{89}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=a^3=\left(\frac{3+\sqrt{89}}{2}\right)^3\\ x=a^3=\left(\frac{3-\sqrt{89}}{2}\right)^3\end{matrix}\right.\)
b)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+1}=a\\ 2x-1=b\end{matrix}\right.(a>0)\)
Khi đó, pt trở thành:
\(a(2b+1)=2a^2+b\)
\(\Leftrightarrow (2a^2-2ab)-(a-b)=0\)
\(\Leftrightarrow 2a(a-b)-(a-b)=0\)
\(\Leftrightarrow (2a-1)(a-b)=0\)
Từ đây xét các TH:
TH1: \(2a-1=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{4}-1=\frac{-3}{4}< 0\) (vô lý)
TH2: \(a-b=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}=2x-1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=(2x-1)^2\\ 2x-1\geq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x^2-4x=0\\ x\geq \frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow x=\frac{4}{3}\)
Vậy.......
chịu
ĐKXĐ: \(x\ge0\)
Ta có:
\(VT=\left(x+1\right)\sqrt{x}+4x=\frac12\left(x+1\right).2.1.\sqrt{x}+4x\le\frac12\left(x+1\right).\left(x+1\right)+\left(x+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\le\frac32\left(x+1\right)^2\) (1)
Lại có:
\(\sqrt{x^2-x+1}=\frac12\sqrt{4x^2-4x+4}=\frac12\sqrt{3\left(x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2}\ge\frac12\sqrt{\left(x+1\right)^2}=\frac12\left(x+1\right)\)
\(\Rightarrow3\left(x+1\right)\sqrt{x^2-x+1}\ge\frac32\left(x+1\right)^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(x+1\right)\sqrt{x}+4x\le3\left(x+1\right)\sqrt{x^2-x+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=1
Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)
Để giải phương trình:
\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \cdot x + 4 x = 3 \left(\right. x + 1 \left.\right) \cdot x^{2} - x + 1\)
Bước 1: Mở rộng các biểu thức
Bên trái phương trình:
\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \cdot x + 4 x = x^{2} + x + 4 x = x^{2} + 5 x\)
Bên phải phương trình:
\(3 \left(\right. x + 1 \left.\right) \cdot x^{2} - x + 1 = 3 \left(\right. x \cdot x^{2} + x^{2} \left.\right) - x + 1 = 3 x^{3} + 3 x^{2} - x + 1\)
Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu
Giờ ta có phương trình:
\(x^{2} + 5 x = 3 x^{3} + 3 x^{2} - x + 1\)
Bước 3: Đưa tất cả các hạng tử về một phía
Chuyển các hạng tử sang bên trái:
\(x^{2} + 5 x - 3 x^{3} - 3 x^{2} + x - 1 = 0\)
Gom các hạng tử lại:
\(- 3 x^{3} + x^{2} + 6 x - 1 = 0\)
Bước 4: Thử các giá trị có thể
Ta thử các giá trị đơn giản của \(x\) (như 0, 1, -1) để tìm nghiệm.
Thử \(x = 1\):
\(- 3 \left(\right. 1 \left.\right)^{3} + \left(\right. 1 \left.\right)^{2} + 6 \left(\right. 1 \left.\right) - 1 = - 3 + 1 + 6 - 1 = 3 \neq 0\)
Vậy \(x = 1\) không phải là nghiệm.
Thử \(x = - 1\):
\(- 3 \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} + \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} + 6 \left(\right. - 1 \left.\right) - 1 = 3 + 1 - 6 - 1 = - 3 \neq 0\)
Vậy \(x = - 1\) cũng không phải là nghiệm.
Thử \(x = 0\):
\(- 3 \left(\right. 0 \left.\right)^{3} + \left(\right. 0 \left.\right)^{2} + 6 \left(\right. 0 \left.\right) - 1 = - 1 \neq 0\)
Vậy \(x = 0\) không phải là nghiệm.
Bước 5: Phân tích và tìm nghiệm số
Vì đây là một phương trình bậc 3, ta có thể sử dụng phương pháp tìm nghiệm số hoặc thử nghiệm với các công cụ tính toán (ví dụ, phương pháp Newton-Raphson) để giải chính xác.
Tuy nhiên, việc này đòi hỏi tính toán phức tạp hơn mà có thể cần phần mềm hoặc máy tính để tìm nghiệm.
Tham khảo