Giải:

Vì B là trung điểm của AM nên A, B, M thẳng hàng

Vì C là trung điểm của DN nên D; C; N thẳng hàng.

AB // DC (gt)

⇒ AM // DN (1)

AM = AB x 2 (gt)

DN = DC x 2

AB = DC

⇒ AM = DN (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

AMND là hình bình hành (tứ giác có một cặp đối diện song song và bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.

Gọi G là giao điểm của AN và DM

AMDN là hình bình hành (cmt)

nên G là trung điểm của AN và DM

AB = BM (gt)

DC = AB (gt)

⇒ BM = DC (tính chất bác cầu) (3)

BM // DC (vì AMND là hình bình hành) (4)

Kết hợp (3) và (4) ta có: BMCD là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau thì đó là hình bình hành)

Gọi K là giao điểm của BC và DM

Thì K là trung điểm của BC và trung điểm của DM (hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

G là trung điểm của DM (cmt)

K là trung điểm của DM (cmt)

Vậy K \(\equiv\) G; Hay trung điểm của ba đường thẳng AN; DM; BC trùng nhau(đpcm)

• Chứng minh AEFD là hình bình hành:
• • Trong hình bình hành ABCD, ta có   và  .
  • Do B là trung điểm AE, ta có  .
  • Do C là trung điểm DF, ta có  .
  • Vì   nên  .
  • Do   nên hai vector này cùng độ dài và cùng hướng, suy ra AE song song và bằng DF.
  • Vậy, AEFD là hình bình hành.
• Chứng minh ABFC là hình bình hành:
• • Ta có   vì ABCD là hình bình hành.
  • Ta cần chứng minh  .
  • Ta có  .
  • Do   nên  .
  • Do   nên AF song song và bằng BC.
  • Vậy, ABFC là hình bình hành.

• Gọi M1 là trung điểm của AF.
• Gọi M2 là trung điểm của DE.
• Gọi M3 là trung điểm của BC.
• Ta có  .
• Ta có  .
• Ta có  .
• Do ABCD là hình bình hành, ta có   (tổng các vector gốc bằng tổng các vector đối diện).
• Từ đó ta có  .
• Thay vào biểu thức của  :  .
• Ta có  .
• Ta có  .
• Do  , suy ra các trung điểm này trùng nhau.

omg

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có \(\hat{MAD}=90^0\)

nên AMND là hình chữ nhật

Xét tứ giác BMNC có

BM//NC

BM=NC

Do đó: BMNC là hình bình hành

Hình bình hành BMNC có \(\hat{MBC}=90^0\)

nên BMNC là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó; BMDN là hình bình hành

c: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(2)

Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>QN//MK

BMDN là hình bình hành

=>DM//BN

=>QM//NK

Xét tứ giác QMKN có

QM//KN

QN//KM

Do đó: QMKN là hình bình hành

=>QK cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,BD,QK,MN đồng quy

a: Ta có: \(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

\(DN=NC=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD(ABCD là hình chữ nhật)

nên AM=MB=DN=NC

Xét tứ giác AMND có

AM//ND

AM=ND

Do đó: AMND là hình bình hành

Hình bình hành AMND có \(\hat{MAD}=90^0\)

nên AMND là hình chữ nhật

Xét tứ giác BMNC có

BM//NC

BM=NC

Do đó: BMNC là hình bình hành

Hình bình hành BMNC có \(\hat{MBC}=90^0\)

nên BMNC là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

c: Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AN//CM

=>QN//MK

Ta có: BMDN là hình bình hành

=>DM//BN

=>QM//NK

Xét tứ giác MQNK có

MQ//NK

MK//NQ

Do đó: MQNK là hình bình hành

=>MN cắt QK tại trung điểm của mỗi đường(1)

Ta có: AMCN là hình bình hành

=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC,MN,BD,QK đồng quy

Cho hình chữ nhật \(A B C D\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\), \(N\) là trung điểm của \(C D\).

a) Chứng minh \(A M N D\) và \(B M N C\) là hình chữ nhật.

Xét tứ giác \(A M N D\):

• \(A M \parallel D N\) (cùng song song với \(A B\)).
• \(A D \parallel M N\) (cùng song song với \(A D\)).
• Hai cạnh kề \(A M\) và \(A D\) vuông góc.

Vậy \(A M N D\) là hình chữ nhật.

Tương tự, với tứ giác \(B M N C\):

• \(B M \parallel C N\).
• \(B C \parallel M N\).
• Hai cạnh kề \(B M\) và \(B C\) vuông góc.

Vậy \(B M N C\) cũng là hình chữ nhật.

b) Chứng minh \(A M C N\) và \(B M D N\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A M C N\):

• \(A M \parallel C N\) và \(A M = C N\).
• \(A N \parallel M C\) và \(A N = M C\).

Do có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên \(A M C N\) là hình bình hành.

Tương tự, trong tứ giác \(B M D N\):

• \(B M \parallel D N\) và \(B M = D N\).
• \(B N \parallel M D\) và \(B N = M D\).

Suy ra \(B M D N\) cũng là hình bình hành.

c) Gọi \(Q , K\) lần lượt là giao điểm của \(A N\) và \(D M\); \(B N\) và \(C M\). Chứng minh \(A C , D B , Q K , M N\) đồng quy.

• Giao điểm \(Q = A N \cap D M\) và \(K = B N \cap C M\) đều nằm trên đường thẳng song song với \(A B\) (qua trung điểm cạnh bên), do đó \(Q K\) là đường thẳng song song với \(A B\).
• Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) của hình chữ nhật cắt nhau tại \(O\) — chính là tâm hình chữ nhật.
• \(M N\) nối trung điểm \(A B\) và \(C D\), đi qua tâm \(O\).
• Đường \(Q K\) cũng đi qua \(O\).

Vậy bốn đường thẳng \(A C , B D , M N , Q K\) đồng quy tại \(O\).

.a.

Vì `EF` là đường trung trực MB.

=> `EM=EB`

=> `ΔEMB` cân tại E

=> \(\widehat{EMB}=\widehat{EBM}\)

Chứng minh tương tự được: \(\widehat{FMB}=\widehat{FBM}\)

Vì `AM=DN` mà AM//DN

=> Tứ giác `AMND` là hình bình hành.

b.

Từ câu (a) suy ra: 

ME//BF

BE//FM

=> Hình bình hành MEBF có `EF⊥MB`

=> Tứ giác MEBF là hình thoi

a: Ta có: CI=2CD

FK=2FE

mà CD=FE(CDEF là hình bình hành)

nên CI=FK

Ta có: CDEF là hình bình hành

=>CD//FE

=>CI//FK

Xét tứ giác CIKF có

CI//KF

CI=KF

Do đó: CIKF là hình bình hành

Ta có: CD=FE

FE=EK

Do đó: CD=EK

Xét tứ giác CDKE có

CD//KE

CD=KE

Do đó: CDKE là hình bình hành

b: Ta có: DI=CD

CD=FE

Do đó: DI=FE

Xét tứ giác DFEI có

DI//FE

DI=FE

Do đó: DFEI là hình bình hành

=>DE cắt FI tại trung điểm của mỗi đường(1)

ta có: CDKE là hình bình hành

=>CK cắt DE tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra DE,FI,CK đồng quy

a,Vì MN=MA (gt)=> M là trung điểm của AN

xét tứ giác ABNC có; AN và BC là hai đường chéo cắt nhau tại M

                                     M là trung điểm của BC (gt)

                                     M là trung điểm của AN (cmt)

=> ABNC là hình bình hành 

b, Vì tgABC vuông cân tại A => AB=AC;gBAC=90độ

vì ABNC là hình bình hành (cmt) có AB = AC 

=> ABNC là hình thoi 

xét hình thoi ABNC có gBAC = 90 độ => ABNC là hình vuông