LS
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
30 tháng 12 2022
3: =>a^3+b^3+c^3>=3abc
=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc>=0
=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)>=0
=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac>=0
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0
=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0(luôn đúng)
3 tháng 5 2020
\(\sqrt{x^2+4x+3m+1}=x+3\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+3m+1=\left(x+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x+3m+1=x^2+6x+9\)
\(\Leftrightarrow2x=3m-8\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3m-8}{2}\)
Với x=\(\frac{3m-8}{2}\Rightarrow\left(\frac{3m-8}{2}\right)^2+4\cdot\frac{3m-8}{2}+3m+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{9m^2-48m+64}{4}+6m-16+3m+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow9m^2-12m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3m-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> \(3m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow a=2;b=3\)
\(\Rightarrow4a^2+3b^2+7=4\cdot2^2+3\cdot3^2+7=50\)
1 tháng 8 2019
Xin phép được sửa đề : CMR : \(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le6\)
Áp dụng BĐT cô - si ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le\frac{a\left(3a+a+2b\right)}{2}=a\left(2a+b\right)\\b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le\frac{b\left(3b+b+2a\right)}{2}=b\left(2b+a\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2a^2+2ab+2b^2\)
Vậy ta cần chứng minh :
\(2a^2+2ab+2b^2\le6\Leftrightarrow a^2+ab+b^2\le3\)
Ta có : \(a^2+ab+b^2\le a^2+b^2+\frac{a^2+b^2}{2}=2+1=3\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=1\)
13 tháng 8 2019
Ta có: \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}=\frac{3a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)
\(=a-\frac{a^2b+b^3}{ab+3a^2}+\frac{2a^3}{ab+3a^2}\)
= \(a-\frac{b\left(a^2+b^2\right)}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^3}{a\left(b+3a\right)}\) (1)
Áp dụng BĐT AM - GM ( x2 + y2 \(\ge2xy\)) ta có:
(1) \(\le a-\frac{2ab^2}{a\left(b+3a\right)}+\frac{2a^2}{b+3a}\) = \(a-\frac{2b^2}{b+3a}+\frac{2a^2}{b+3a}\) (2)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\le b-\frac{2c^2}{c+3b}+\frac{2b^2}{c+3b}\left(3\right)\)
\(\frac{5c^3-a^2}{ca+3c^2}\)\(\le c-\frac{2a^2}{a+3c}+\frac{2c^2}{a+3c}\)(4)
Từ (2), (3), (4) \(\Rightarrow\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le a+b+c+\left(\frac{2a^2}{a+3c}-\frac{2a^2}{a+3c}\right)+\left(\frac{2b^2}{b+3c}-\frac{2b^2}{b+3c}\right)+\left(\frac{2c^2}{c+3a}-\frac{2c^2}{c+3a}\right)=a+b+c\le2018\)
Vậy \(\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}+\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}+\frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\le2018\)
Phương trình cần giải là:
\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 0\)
Đây là một phương trình bậc 4. Để giải phương trình này, ta sẽ thử một số giá trị đơn giản của \(b\) và tìm xem có nghiệm nào phù hợp không.
Thử với các giá trị của \(b\):
1. \(b = 2\):
Thay \(b = 2\) vào phương trình:
\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 2024\)\(= 16 - 24 + 20 - 6 - 2024\)\(= 16 - 24 + 20 - 6 - 2024 = - 2018 \neq 0\)
Vậy \(b = 2\) không phải là nghiệm.
2. \(b = 3\):
Thay \(b = 3\) vào phương trình:
\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = 3^{4} - 3 \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3^{2} - 3 \cdot 3 - 2024\)\(= 81 - 3 \cdot 27 + 5 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 2024\)\(= 81 - 81 + 45 - 9 - 2024\)\(= 81 - 81 + 45 - 9 - 2024 = - 1988 \neq 0\)
Vậy \(b = 3\) không phải là nghiệm.
3. \(b = - 1\):
Thay \(b = - 1\) vào phương trình:
\(b^{4} - 3 b^{3} + 5 b^{2} - 3 b - 2024 = \left(\right. - 1 \left.\right)^{4} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right)^{3} + 5 \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) - 2024\)\(= 1 - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) + 5 \left(\right. 1 \left.\right) - 3 \left(\right. - 1 \left.\right) - 2024\)\(= 1 + 3 + 5 + 3 - 2024 = 12 - 2024 = - 2012 \neq 0\)
Vậy \(b = - 1\) không phải là nghiệm.
4. Thử các giá trị khác của \(b\) (bằng cách kiểm tra phương pháp giải các phương trình bậc 4 qua các kỹ thuật phân tích hay thuật toán số học).
Tham khảo