Câu hỏi của Lê Thị Hướng

Question

Tìm các số nguyên x;y thỏa mãn |x+y|+|x − y| = 2^|x−y| +2023

Nguyễn Phú Thành · Accepted Answer

Ta có: $\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = 2^{\mid x - y \mid} + 2023$ Nhận thấy $\mid x + y \mid + \mid x - y \mid \geq 0$ và $2^{\mid x - y \mid} > 0$, nên $2^{\mid x - y \mid} + 2023 > 0$. Xét các trường hợp của $\mid x - y \mid$:

Trường hợp 1: $\mid x - y \mid = 0 \Rightarrow x = y$. Khi đó:$\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + x \mid + 0 = \mid 2 x \mid = 2 \mid x \mid$$2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{0} + 2023 = 1 + 2023 = 2024$Vậy $2 \mid x \mid = 2024 \Rightarrow \mid x \mid = 1012 \Rightarrow x = \pm 1012$ Vì $x = y$, ta có các cặp nghiệm $\left(\right. x ; y \left.\right)$ là $\left(\right. 1012 ; 1012 \left.\right)$ và $\left(\right. - 1012 ; - 1012 \left.\right)$.
Trường hợp 2: $\mid x - y \mid = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1$. Khi đó:$\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 1$$2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{1} + 2023 = 2025$Vậy $\mid x + y \mid + 1 = 2025 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2024 \Rightarrow x + y = \pm 2024$
- Nếu $x - y = 1$ và $x + y = 2024$, ta có $2 x = 2025 \Rightarrow x = \frac{2025}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = 1$ và $x + y = - 2024$, ta có $2 x = - 2023 \Rightarrow x = \frac{- 2023}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 1$ và $x + y = 2024$, ta có $2 x = 2023 \Rightarrow x = \frac{2023}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 1$ và $x + y = - 2024$, ta có $2 x = - 2025 \Rightarrow x = \frac{- 2025}{2}$, không là số nguyên (loại).
Trường hợp 3: $\mid x - y \mid = 2 \Rightarrow x - y = \pm 2$. Khi đó:$\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 2$$2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{2} + 2023 = 4 + 2023 = 2027$Vậy $\mid x + y \mid + 2 = 2027 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2025 \Rightarrow x + y = \pm 2025$
- Nếu $x - y = 2$ và $x + y = 2025$, ta có $2 x = 2027 \Rightarrow x = \frac{2027}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = 2$ và $x + y = - 2025$, ta có $2 x = - 2023 \Rightarrow x = \frac{- 2023}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 2$ và $x + y = 2025$, ta có $2 x = 2023 \Rightarrow x = \frac{2023}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 2$ và $x + y = - 2025$, ta có $2 x = - 2027 \Rightarrow x = \frac{- 2027}{2}$, không là số nguyên (loại).
Trường hợp 4: $\mid x - y \mid = 3 \Rightarrow x - y = \pm 3$. Khi đó:$\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 3$$2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{3} + 2023 = 8 + 2023 = 2031$Vậy $\mid x + y \mid + 3 = 2031 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2028 \Rightarrow x + y = \pm 2028$
- Nếu $x - y = 3$ và $x + y = 2028$, ta có $2 x = 2031 \Rightarrow x = \frac{2031}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = 3$ và $x + y = - 2028$, ta có $2 x = - 2025 \Rightarrow x = \frac{- 2025}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 3$ và $x + y = 2028$, ta có $2 x = 2025 \Rightarrow x = \frac{2025}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 3$ và $x + y = - 2028$, ta có $2 x = - 2031 \Rightarrow x = \frac{- 2031}{2}$, không là số nguyên (loại).
Trường hợp tổng quát: $\mid x - y \mid = k$$\mid x + y \mid + k = 2^{k} + 2023$$\mid x + y \mid = 2^{k} - k + 2023$Nhận thấy với $k$ càng lớn, $2^{k}$ tăng rất nhanh.

Với $k = 11$: $\mid x + y \mid = 2^{11} - 11 + 2023 = 2048 - 11 + 2023 = 4060$ $x - y = \pm 11$ và $x + y = \pm 4060$ Nhận thấy $2^{k} - k$ tăng rất nhanh khi $k$ tăng. Do đó, ta chỉ cần xét một vài trường hợp nhỏ của $k$. Kết luận: Các cặp số nguyên $\left(\right. x ; y \left.\right)$ thỏa mãn phương trình là $\left(\right. 1012 ; 1012 \left.\right)$ và $\left(\right. - 1012 ; - 1012 \left.\right)$.Câu trả lời: Ta có: $\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = 2^{\mid x - y \mid} + 2023$ Nhận thấy $\mid x + y \mid + \mid x - y \mid \geq 0$ và $2^{\mid x - y \mid} > 0$, nên $2^{\mid x - y \mid} + 2023 > 0$. Xét các trường hợp của $\mid x - y \mid$:

Trường hợp 1: $\mid x - y \mid = 0 \Rightarrow x = y$. Khi đó:$\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + x \mid + 0 = \mid 2 x \mid = 2 \mid x \mid$$2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{0} + 2023 = 1 + 2023 = 2024$Vậy $2 \mid x \mid = 2024 \Rightarrow \mid x \mid = 1012 \Rightarrow x = \pm 1012$ Vì $x = y$, ta có các cặp nghiệm $\left(\right. x ; y \left.\right)$ là $\left(\right. 1012 ; 1012 \left.\right)$ và $\left(\right. - 1012 ; - 1012 \left.\right)$.
Trường hợp 2: $\mid x - y \mid = 1 \Rightarrow x - y = \pm 1$. Khi đó:$\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 1$$2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{1} + 2023 = 2025$Vậy $\mid x + y \mid + 1 = 2025 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2024 \Rightarrow x + y = \pm 2024$
- Nếu $x - y = 1$ và $x + y = 2024$, ta có $2 x = 2025 \Rightarrow x = \frac{2025}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = 1$ và $x + y = - 2024$, ta có $2 x = - 2023 \Rightarrow x = \frac{- 2023}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 1$ và $x + y = 2024$, ta có $2 x = 2023 \Rightarrow x = \frac{2023}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 1$ và $x + y = - 2024$, ta có $2 x = - 2025 \Rightarrow x = \frac{- 2025}{2}$, không là số nguyên (loại).
Trường hợp 3: $\mid x - y \mid = 2 \Rightarrow x - y = \pm 2$. Khi đó:$\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 2$$2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{2} + 2023 = 4 + 2023 = 2027$Vậy $\mid x + y \mid + 2 = 2027 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2025 \Rightarrow x + y = \pm 2025$
- Nếu $x - y = 2$ và $x + y = 2025$, ta có $2 x = 2027 \Rightarrow x = \frac{2027}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = 2$ và $x + y = - 2025$, ta có $2 x = - 2023 \Rightarrow x = \frac{- 2023}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 2$ và $x + y = 2025$, ta có $2 x = 2023 \Rightarrow x = \frac{2023}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 2$ và $x + y = - 2025$, ta có $2 x = - 2027 \Rightarrow x = \frac{- 2027}{2}$, không là số nguyên (loại).
Trường hợp 4: $\mid x - y \mid = 3 \Rightarrow x - y = \pm 3$. Khi đó:$\mid x + y \mid + \mid x - y \mid = \mid x + y \mid + 3$$2^{\mid x - y \mid} + 2023 = 2^{3} + 2023 = 8 + 2023 = 2031$Vậy $\mid x + y \mid + 3 = 2031 \Rightarrow \mid x + y \mid = 2028 \Rightarrow x + y = \pm 2028$
- Nếu $x - y = 3$ và $x + y = 2028$, ta có $2 x = 2031 \Rightarrow x = \frac{2031}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = 3$ và $x + y = - 2028$, ta có $2 x = - 2025 \Rightarrow x = \frac{- 2025}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 3$ và $x + y = 2028$, ta có $2 x = 2025 \Rightarrow x = \frac{2025}{2}$, không là số nguyên (loại).
- Nếu $x - y = - 3$ và $x + y = - 2028$, ta có $2 x = - 2031 \Rightarrow x = \frac{- 2031}{2}$, không là số nguyên (loại).
Trường hợp tổng quát: $\mid x - y \mid = k$$\mid x + y \mid + k = 2^{k} + 2023$$\mid x + y \mid = 2^{k} - k + 2023$Nhận thấy với $k$ càng lớn, $2^{k}$ tăng rất nhanh.

Với $k = 11$: $\mid x + y \mid = 2^{11} - 11 + 2023 = 2048 - 11 + 2023 = 4060$ $x - y = \pm 11$ và $x + y = \pm 4060$ Nhận thấy $2^{k} - k$ tăng rất nhanh khi $k$ tăng. Do đó, ta chỉ cần xét một vài trường hợp nhỏ của $k$. Kết luận: Các cặp số nguyên $\left(\right. x ; y \left.\right)$ thỏa mãn phương trình là $\left(\right. 1012 ; 1012 \left.\right)$ và $\left(\right. - 1012 ; - 1012 \left.\right)$.

Bài 2. Tìm \(\left(\right. x , y \left.\right) \in \mathbb{Q}^{2}\)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bài 2. Tìm \(\left(\right. x , y \left.\right) \in \mathbb{Q}^{2}\)

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP