a) Ta có 

\(a^2+4b^2=12ab\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2=16ab\)

Do a,b dương nên \(a+2b=4\sqrt{ab}\) khi đó lấy logarit cơ số 10 hai vế ta được :

\(lg\left(a+2b\right)=lg4+\frac{1}{2}lg\left(ab\right)\)

hay 

\(lg\left(a+2b\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lga+lgb\right)\)

b) Giả sử a,b,c đều dương khác 0. Để biểu diễn c theo a, ta rút lgb từ biểu thức \(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\) và thế vào biểu thức \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\). Sau khi lấy logarit cơ số 10 2 vế, ta có :

\(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\Rightarrow lga=\frac{1}{1-lgb}\Rightarrow lgb=1-\frac{1}{lga}\)

Mặt khác , từ \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\) suy ra \(lgb=\frac{1}{1-lgc}\) Do đó :

\(1-\frac{1}{lga}=\frac{1}{1-lgc}\)

\(\Rightarrow1-lgx=\frac{lga}{lga-1}=1+\frac{1}{lga-1}\)

\(\Rightarrow lgc=\frac{1}{1-lga}\)

Từ đó suy ra : \(c=10^{\frac{\frac{1}{1-lga}}{ }}\)

Ta có :

\(2^{2^{-1}}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow2^{2^{-1^2}}=4\)

\(\Leftrightarrow2^{2^1}=4\)

\(\Leftrightarrow2^2=4\Leftrightarrow4=4\)

=> Điều phải chứng minh 

Nhầm cho sửa chỗ \(2^{2^{-1^2}}\) thành \(2^{2^{\left(-1\right)^2}}\)

I think that we have to prove \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=-2\)

We have \(a+b+c=abc\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)

We have \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2=0\)( Because \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\))

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=-2\)

So...

Phản chứng

\(\left|z+1\right|\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)  hoặc \(\left|z^2+1\right|<1\)

Đặt z=a+bi => \(z^2=a^2-b^2+2abi\)

                        \(\left(1+a^2-b^2\right)^2+4a^2b^2<1\) ; \(\left(1+a\right)^2+b^2<\frac{1}{2}\)

                        \(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)^2+2\left(a^2+b^2\right)<0\) ; \(2\left(a^2+b^2\right)+4a+1<0\)

Cộng các bất đẳng thức ta được

\(\left(a^2+b^2\right)^2+\left(2a+1\right)^2<0\)

=> Mâu thuẫn => Điều cần chứng minh

a. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 

\(\log_23+\log_32>2\sqrt{\log_23.\log_32}=2\) (1)

((1) không có dấu bằng vì \(\log_23\ne\log_32\))

Ta có :

                 \(\log_23+\log_32< \frac{5}{2}\Leftrightarrow\log_23+\frac{1}{\log_32}-\frac{5}{2}< 0\)

              \(\Leftrightarrow2\log^2_23-5\log_23+2< 0\)

              \(\Leftrightarrow\left(2\log_23-1\right)\left(\log_23-2\right)< 0\)  (*)

Mặt khác : \(\begin{cases}2\log_23-1>0\\\log_23-3< 0\end{cases}\)  \(\Rightarrow\) (*) đúng

                                               \(\Rightarrow\log_23+\log_32< \frac{5}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2< \log_23+\log_32< \frac{5}{2}\) => Điều phải chứng minh

b. Ta có \(\log_{\frac{1}{2}}3+\log_3\frac{1}{2}=-\left(\log_23+\log_32\right)\)  (1)

Chứng minh như câu a ta được :

                \(\log_23+\log_32>2\Rightarrow-\left(\log_23+\log_32\right)< -2\)  (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\log_{\frac{1}{2}}3+\log_3\frac{1}{2}< -2\) => Điều phải chứng minh

a) Xét phương trình : \(f'\left(x\right)=2x^2+2\left(\cos a-3\sin a\right)x-8\left(1+\cos2a\right)=0\)

 Ta có : \(\Delta'=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+16\left(1+\cos2a\right)=\left(\cos a-3\sin a\right)^2+32\cos^2\), \(a\ge0\) với mọi a

Nếu \(\Delta'=0\Leftrightarrow\cos a-3\sin a=\cos a=0\Leftrightarrow\sin a=\cos a\Rightarrow\sin^2a+\cos^2a=0\) (Vô lí)

Vậy \(\Delta'>0\) 

với mọi a \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số có cực đại, cực tiểu

b) Theo Viet ta có \(x_1+x_2=3\sin a-\cos a\)

                             \(x_1x_2=-4\left(1+\cos2a\right)\)

\(x^2_1+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(3\sin a-\cos a\right)^2+8\left(1+\cos2a\right)=9+8\cos^2a-6\sin a\cos a\)

              \(=9+9\left(\sin^2a+\cos^2a\right)-\left(3\sin a+\cos a\right)^2=18-\left(3\sin a+\cos2a\right)\le18\)

kho qua !!!!!!!!!!!!!!!!!??????????

đừng có xúc phạn nữa đấy

Đúng vậy biết rồi thì hỏi làm gì

jaki nhỉ

Đặt \(t=\left|1+z\right|\in\left[0,2\right]\) 

\(t^2=\left(1+z\right)\left(1+\overline{z}\right)=2+2Re\left(z\right)\) 

\(\Rightarrow Re\left(z\right)=\frac{t^2-2}{2}\)

Khi đó \(\left|1-z+z^2\right|=\sqrt{\left|7-2t^2\right|}\)

Xét hàm số :

\(f:\left[0;2\right]\) -> \(R,f\left(t\right)=t+\sqrt{\left|7-2t^2\right|}\)

Ta được :

\(f\left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right)=\sqrt{\frac{7}{2}}\le t+\sqrt{\left|7-2t^2\right|}\le f\left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right)=\sqrt[3]{\frac{7}{6}}\)