a/ Ta có

\(6^3=216;6^4=1296\)

\(\Rightarrow n\le3\Rightarrow n=\left\{0;1;2;3\right\}\) 

Thay lần lượt các giá trị của n vào \(18mn+6^n=222\) ta tìm được n=1 và m=12 là giá trị thoả mãn biểu thức

b/

\(\overline{abcd}=100.\overline{ab}+\overline{cd}=12.\overline{ab}+\overline{cd}+88.\overline{ab}\)

Ta có \(\left(12.\overline{ab}+\overline{cd}\right)⋮11;88.\overline{ab}⋮11\Rightarrow\overline{abcd}⋮11\)

5/a=1/6+b/3

5/a=1/6+2b/6

5/a=(1+2b)/6

a x (1+2b)=5x6=30

-->a và 1+2b thuộc ước của 30

Mà a và b là các số nguyên dương nên a và 1+2b thuộc tập hợp 1;2;3;5;6;10;15;30

Vì a và b là các số nguyên dương;a x (1+2b)=30 nên ta có bảng:

Vậy a thuộc tập hợp 2;6;10;30

       b thuộc tập hợp 7;2;1;0

a=6       b=2

5/2-2/3=1/6

5/9 - 4/3 = 1/6

a) Ta thấy ƯCLN(a,b)=8 và BCNN(a,b)=48 => ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b) = a . b = 8 . 48 = 384

Vì ƯCLN(a,b) = 8, nên ta đặt:

a = 8.c; b = 8.d; ƯCLN(c,d) = 1

theo bài ta có: 

            a . b = 384

hay:8.c . 8.d = 384

 => 64 . c.d  = 384

      c.d = 6

ta có bảng :

c      1       2

d      6       3

nếu c=1 và d=6 thì a=8 và b=48 hoặc a=48 và b=8

      c=2 và d=3 thì a=16 và b=24 hoặc a=24 và b=16

kết luận tự làm

còn lại để hôm khác

b)

(+) Hiển nhiên A chia hết cho 6 vì các số hạng của S đều chia hết cho 6  (1)

(+) Ta có:\(S=6+6^2+6^3+....+6^{100}\)

\(S=\left(6+6^2\right)+\left(6^3+6^4\right)+....+\left(6^{99}+6^{100}\right)\)

\(S=6.\left(1+6\right)+6^3.\left(1+6\right)+.....+6^{99}.\left(1+6\right)\)

\(S=6.7+6^3.7+.....+6^{99}.7=\left(6+6^3+...+6^{99}\right).7\)

=>S chia hết cho 7 (2)

Từ (1) và (2) ;kết hợp với (6;7)=1

=>S chia hết cho 42  (đpcm)

Bài 1b:

\(\frac31\) + \(\frac33\) + \(\frac36\) + \(\frac{3}{10}\) + ...+\(\frac{3}{x\left(x+1\right):2}\) = \(\frac{2015}{336}\)

3.(\(\frac11+\frac13+\frac16+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+1):2\right.})\) = \(\frac{2015}{336}\)

3.2(\(\frac12+\frac16+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\cdots+\frac{1}{x\left(x+1\right)})=\) \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\cdots+\frac{1}{x.\left(x+1\right)})\) = \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac11-\frac12\) + \(\frac12\)-\(\frac14\) +...+ \(\frac{1}{x}\) - \(\frac{1}{x+1}\)) = \(\frac{2015}{336}\)

6.(\(\frac11\) - \(\frac{1}{x+1}\)) = \(\frac{2015}{336}\)

1 - \(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{2015}{336}\) : 6

1 - \(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{2015}{2016}\)

\(\frac{1}{x+1}\) = 1 - \(\frac{2015}{2016}\)

\(\frac{1}{x+1}\) = \(\frac{1}{2016}\)

\(x+1\) = 2016

\(x\) = 2016 - 1

\(x\) = 2015

Bài 2:

A = \(\frac{6n+1}{4n+3}\) (n ∈ Z\(^{-}\))

A ∈ Z khi và chỉ khi:

(6n + 1) ⋮ (4n + 3)

(12n + 2) ⋮ (4n + 3)

[3(4n + 3) - 7] ⋮ (4n + 3)

7 ⋮ (4n + 3)

(4n + 3) ∈ Ư(7) = {-7; -1; 1; 7}

n ∈ {- 5/2; -1; - 1/2; 1}

Nếu n = - 1 thì A = (-6 + 1)/(-4 + 3) = 5 (loại)

Nếu n = 1 thì: A = (6 + 1).(4+3) = 1 (loại)

Không có giá trị nào thỏa mãn đề bài hay n ∈ ∅