Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:

\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)

\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)

Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

 Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.

Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)

Theo đề ta có :

\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)

\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)

\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ

\(\Rightarrow dpcm\)

1. = [(x^2-2xy+y^2)+2.(x-y).2+4] - 9

    = (x-y+2)^2-9

    = (x-y+2-3).(x-y+2+3) = (x-y-1).(x-y+5)

2. Có : n^3+n+2 = (n^3+1)+(n+1) = (n+1).(n^2-n+1+1) = (n+1).(n^2-n+2)

Nếu n lẻ => n+1 chia hết cho 2 => n^3+n+2 chia hết cho 2

Mà n^3+n+2 > 2 => n^3+n+2 là hợp sô

Nếu n chẵn thì n^2 chia hết cho 2 => n^2-n+2 chia hết cho 2 => n^3+n+2 chia hết cho 2

Mà n^3+n+2 > 2 = >n^3+n+2 là hợp số

Tk mk nha

Hai số chính phương liên tiếp lúc nào cũng là 1 chẵn và một lẻ. Nên tổng của chúng sẽ là số lẻ và tích của chúng  sẽ là số chẵn mà số lẻ cộng với số chẵn sẽ ra số lẻ. 

Số hạng thứ n của dãy là:n(n+1)/2

Số hạng thứ n-1 của dãy là:(n-1)n/2

Ta có:(n-1)n/2+n(n+1)/2=(n^2-n)/2+(n^2+n)/2

                                  =(2n^2)/2=n^2

Vì n thuộc N nên n^2 là số chính phương

Vậy tổng 2 số hạng liên tiếp của dãy là số chính phương.

Ta xét tổng hai số 

(n-1)×n/2  +  n×(n+1)/2

=> (n-1)×n+n×(n+1) /2

=>n×[(n-1)×(n+1)]  /2

=>n×2n /2

=> 2×n²  /2

=> n²

bài toán được chứng minh

1/           n³+n+2=(n+1)(n²-n+2)

Xet chẵn lẻ của n  => chia hết cho 2 => hợp số

online math oi, chọn câu trả lời này đi

Số hạng thứ n là \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Tổng 2 số liên tiếp của dãy là \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1\right).2}{2}\)

\(=\left(n+1\right)^2\)

Do đó tổng 2 số liên tiếp của dãy là số chính phương.

 Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k² và (k+1)²

Ta có:

k²+(k+1)²+k².(k+1)²

=k²+k²+2k+1+k⁴+2k³+k²

=k⁴+2k³+3k²+2k+1

=(k²+k+1)²

=[k(k+1)+1]² là số chính phương lẻ.

làm nhanh Cho nick face thì làm

Gọi số lẻ liên tiếp là 2k+1,2k+3 

Ta có: \(\left(2k+1\right)^2+\left(2k+3\right)^2=4k^2+4k+1+4k^2+12k+9=8k^2+16k+10\)

\(=8\left(k^2+2k+1\right)+2=8\left(k+1\right)^2+2\)

Vì: \(8\left(k+1\right)^2⋮2;2⋮2\Rightarrow8\left(k+1\right)^2+2⋮2\left(1\right)\)

Mà \(8\left(k+1\right)^2⋮4,2⋮̸4\Rightarrow8\left(k+1\right)^2+2⋮4̸\) (2)

Từ (1) và (2) => 8(k+1)²+2 không phải là số chính phương

Vậy...

P/s: theo tính chất số chính phương thì nếu số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4