B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$
$\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Mặt bên $(SAB)\perp(ABC)$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$
$\Rightarrow SA=SB,; AB$ là cạnh huyền

$AB=a \Rightarrow SA=SB=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Vì $(SAB)\perp(ABC)$
$\Rightarrow$ chiều cao khối chóp là khoảng cách từ $S$ đến $AB$ trong tam giác $SAB$

Chiều cao từ $S$ xuống $AB$:

$h=\dfrac{SA\cdot SB}{AB} =\dfrac{\left(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}{a} =\dfrac{a}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h$

$=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Chọn B

Chọn B

Phương pháp

Đáp án C

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC} = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác vuông cân nên:

$SA = SB$ và $\widehat{ASB} = 90^\circ$.

Suy ra: $AB = SA\sqrt2 \Rightarrow SA = SB = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì:

$SM \perp AB$ và $SM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{a}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SM \perp (ABC)$, do đó $SM$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SM= \dfrac13 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 \cdot \dfrac{a}{2}= \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt3}{24}$.

Chọn C.

Gọi H là trung điểm của AB 

Ta có:  và 

Vậy: 

Vì $(SAB)$ là tam giác đều cạnh $a$ nên: $SA=SB=AB=a$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$.

Vì tam giác $SAB$ đều nên $SH\perp AB$ và $SH=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Do mặt phẳng $(SAB)\perp(ABC)$ nên: $SH\perp(ABC)$

Suy ra $SH$ chính là chiều cao của hình chóp.

Vì đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ và theo giả thiết chuẩn của dạng này ta có:

$AB=AC=a$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ với cạnh đáy $BC=a$
nên thực chất $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$.

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac13\cdot\dfrac{3a^3}{8} =\dfrac{a^3}{8}$

Vậy $V=\dfrac{a^3}{8}$

Chọn A.

Ta có: 

( S A B ) ⊥ ( A B C ) ( S A C ) ⊥ ( A B C ) ( S A B ) ∩ ( S A C ) = S A ⇒ S A ⊥ ( A B C )

S A B C = a 2 3 4 ,   S A =   a 2

Vậy thể tích khối chóp  V A B C = a 3 6 12  

Vì tam giác $SBC$ đều cạnh $a$ nên: $SB=SC=BC=a$

Đường cao của tam giác đều: $SH=\dfrac{\sqrt3}{2}a$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ theo giao tuyến $BC$ nên: $SH\perp(ABC)$

Suy ra $SH$ là chiều cao của hình chóp.

Xét tam giác đáy $ABC$ vuông tại $A$ và có:

$\widehat{ABC}=30^\circ$

Vì $BC=a$ (do tam giác $SBC$ đều) nên trong tam giác vuông:

$AB=BC\cos30^\circ =a\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$AC=BC\sin30^\circ =a\cdot\dfrac12 =\dfrac{a}{2}$

Diện tích đáy:

$S_{ABC} =\dfrac12 AB\cdot AC =\dfrac12\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a}{2} =\dfrac{a^2\sqrt3}{8}$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH =\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{8}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2} =\dfrac13\cdot\dfrac{3a^3}{16} =\dfrac{a^3}{16}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên:

$AB = a,\quad BC = a\sqrt3$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $ABC$:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{3a^2 - a^2} = a\sqrt2$.

Mặt bên $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$SA = AB = SB = a$.

Mặt phẳng $(SAB) \perp (ABC)$ và giao tuyến là $AB$ nên:

$SA \perp (ABC)$.

Vậy $SA$ chính là chiều cao của khối chóp.

Diện tích đáy tam giác $ABC$ là:

$S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC$

$= \dfrac12 \cdot a \cdot a\sqrt2 = \dfrac{a^2\sqrt2}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SA$

$= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt2}{2} \cdot a$

$= \dfrac{a^3\sqrt2}{6}$.

Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt2}{6}$

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = 3$, $BC = 3\sqrt3$ nên:

$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{27 - 9} = 3\sqrt2$.

Diện tích đáy:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3\sqrt2 = \dfrac{9\sqrt2}{2}$.

Tam giác $SAB$ đều cạnh $3$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$ nên:

$SA = SB = AB = 3$ và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $(ABC)$ tại trung điểm $H$ của $AB$.

Suy ra: $AH = HB = \dfrac{3}{2}$.

Trong tam giác đều $SAB$:

$SH = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot 3 = \dfrac{3\sqrt3}{2}$.

Vì $(SAB)\perp(ABC)$ nên $SH \perp (ABC)$, do đó $SH$ là chiều cao của khối chóp.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{9\sqrt2}{2} \cdot \dfrac{3\sqrt3}{2}= \dfrac{27\sqrt6}{12}= \dfrac{9\sqrt6}{4}$.

Vậy $V = \dfrac{9\sqrt6}{4}$.