Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là a
Theo đề bài ta có: a=11x+6=4y+1=19z+11 (\(x;y;z\in N\))
=> a+27=11x+33=4y+28=19z+38 => a+27=11(x+3)=4(x+28)=19(z+2)
=>a+27 chia hết cho 11;4;19
Mà a nhỏ nhất => a+27 nhỏ nhất => a+27 = BCNN(11;4;19) => a+27=836 => a=809
Vậy số cần tìm là 809
Bài 1 : Giải :
Vì : a chia cho 3 dư 1 => a + 2 \(⋮\)3
a chia cho 4 dư 2 => a + 2 \(⋮\)4
a chia cho 5 dư 3 => a + 2 \(⋮\)5
a chia cho 6 dư 4 => a + 2 \(⋮\)6
=> a + 2 \(\in\) BC( 3,4,5,6 )
3 = 3
4 = 22
5 = 5
6 = 2 .3
BCNN( 3,4,5,6 ) = 22 . 3 . 5 = 60
BC( 3,4,5,6 ) = { 0;60;120;180;... }
Mà : a nhỏ nhất => a + 2 nhỏ nhất
=> a + 2 = 60
=> a = 60 - 2 = 58
Vậy số tự nhiên cần tìm là 58
Bài 2 : Giải :
\(A=\frac{1.5.6+2.10.12+4.20.24+9.45.54}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+9.27.45}\)
\(A=\frac{1.1.5.1.6.1.+1.2.5.2.6.2+1.4.5.4.6.4+1.9.5.9.6.9}{1.1.3.1.5.1+1.2.3.2.5.2+1.4.3.4.5.4+1.9.3.9.5.9}\)
\(A=\frac{1.5.6\left(1+2.2.2+4.4.4+9.9.9\right)}{1.3.5\left(1+2.2.2+4.4.4+9.9.9\right)}\)
\(A=\frac{1.5.6}{1.3.5}=\frac{6}{3}=2\)
Vậy : A = 2
Bài 3: Giải :
Quy đồng tử số , ta có :
\(\frac{6}{7}=\frac{6.3}{7.3}=\frac{18}{21};\frac{9}{11}=\frac{9.2}{11.2}=\frac{18}{22};\frac{2}{3}=\frac{2.9}{3.9}=\frac{18}{27}\)
=> \(\frac{18}{21}\) số thứ nhất = \(\frac{18}{22}\) số thứ hai và = \(\frac{18}{27}\) số thứ ba .
Hay : \(\frac{1}{21}\) số thứ nhất = \(\frac{1}{22}\) số thứ hai và = \(\frac{1}{27}\) số thứ ba .
Vậy coi số thứ nhất là 21 phần bằng nhau , số thứ hai là 22 phần bằng nhau thì số thứ ba là 27 phần bằng nhau như thế .
Tổng số phần bằng nhau là :
21 + 22 + 27 = 70
Số thứ nhất là :
210 : 70 . 21 = 63
Số thứ hai là :
210 : 70 . 22 = 66
Số thứ ba là :
210 - 63 - 66 = 81
Đáp số : ...
a )
Theo bài ra: (a - 4) chia hết cho 5 => (a - 4) + 20 chia hết cho 5 => a + 16 chia hết cho 5
(a - 5) chia hết cho 7 => (a - 5) + 21 chia hết cho 7 => a + 16 chia hết cho 7
(a - 6) chia hết cho 11 => (a - 6) + 22 chia hết cho 11 => a + 16 chia hết cho 11
=> a + 16 thuộc BC(5; 7; 11)
Mà BCNN(5; 7; 11) = 385
=> a + 16 thuộc B(385) = {0; 385; 770; ...}
=> a thuộc {-16; 369; 754;...}
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất
=> a = 369
b ) \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}.\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}=\frac{1}{2.2}< \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3^2}=\frac{1}{3.3}< \frac{1}{2.3}\)
.....................
\(\frac{1}{2012^2}=\frac{1}{2012.2012}< \frac{1}{2011.2012}\)
Ta có :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2011.2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1-\frac{1}{2012}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}.< \frac{2011}{2012}\)
Mà \(\frac{2011}{2012}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+.......+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}< 1\)
\(b)\)\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)
\(< \)\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{2010.2011}+\frac{1}{2011.2012}\)
\(< \)\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
\(< \)\(1-\frac{1}{2012}\)\(=\frac{2011}{2012}< 1\)
Vậy Biểu thức \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+...+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}\)\(< 1\)
a) Gọi ƯCLN (21n+4 ; 14n+3) =d ( ĐK: d \(\inℕ^∗\))
=> \(\hept{\begin{cases}21n+4\\14n+3\end{cases}}\)\(⋮\)d
=> \(\hept{\begin{cases}2.\left(21n+4\right)\\3.\left(14n+3\right)\end{cases}}\)\(⋮\)d
=>\(\hept{\begin{cases}42n+8\\42n+9\end{cases}}\)\(⋮\)d
=> (42n+9) - (42n+8) \(⋮\)d
42n+9 - 42n - 8 \(⋮\)d
( 42n - 42n) + ( 9 - 8) \(⋮\)d
=> 1\(⋮\)d
=> d = 1
=> ƯCLN ( 21n+4 ; 14n+3 ) = 1
Vậy phân số \(\frac{21n+4}{14n+3}\)là phân số tối giản
b) mk k bt làm
Chúc bn hok tốt!!
Nếu đúng thì tk mk nha
\(\text{Gọi ƯCLN( 21n + 4 , 14n + 3 ) là d}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}21n+4⋮d\\14n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(21n+4\right)⋮d\\3\left(14n+3\right)⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}42n+8⋮d\\42n+9⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(42n+9\right)-\left(42n+8\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
\(\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow\text{Phân số }\frac{21n+4}{14n+4}\text{ là phân số tối giản}\)
TL:
-Ta thấy: 22019=(24)504.23=16504.8=.8=¯¯¯¯¯¯¯B8B8¯
Vậy 22019có tận cùng là 8.
.
TL
Ta thấy: 22019=(24)504.23=16504.8=8
Vậy 22019có tận cùng là 8.
Hoktot~
Câu b:
A = 1^1 + 2^5 + 3^9 + 4^13 + ...+ 504^2013 + 505^2017
A = 1^1 + (2^4).2 + (3^4).3 +...+(504^4)\(^{503}\).504 + (505^4)\(^{504}\).504
A = 1 + \(\overline{..2}\) + \(\overline{..3}\) + \(\overline{..4}\) +\(\overline{..5}\) +\(\overline{..6}\) + \(\overline{..7}\) + \(\overline{..8}\) + \(\overline{..9}\) + \(\overline{..0}\) +..+\(\overline{..3}\) +\(\overline{..4}\) +\(\overline{..5}\)
Xét dãy số: 1; 5; 9;...; 2017
Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:
5 - 1 = 4
Số số hạng của dãy số trên là:
(2017 - 1) : 4 + 1 = 505
Vì 505 : 10 = 500 dư 5 nên nhóm 10 số hạng liên tiếp của A vào nhau khi đó ta có:
Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của B với:
B = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+ 7+ 8+ 9+ 0) x 505 + (1+ 2+ 3+ 4+ 5)
B = 45 x 505 + 15
B = \(\overline{..5}\) + 15
B = \(\overline{..0}\)
Chữ số tận cùng của B là chữ số tận cùng A nên chữ số tận cùng của A là 0
a) Gọi số tự nhiên cần tìm là a
Ta có: a+1 chia hết cho 3
a+1 chia hết cho 4
a+1 chia hết cho 5
a+1 chia hết cho 10
\(\Rightarrow\) a+1 \(\in\) B(3;4;5;10)
Lại có: BCNN(3;4;5;10) là 60
\(\Rightarrow\) a = 59
Câu 5:
\(\left(x^2-8\right)\left(x^2-15\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-8>0\\x^2-15< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow8< x^2< 15\)
mà x là số nguyên
nên \(x\in\left\{3;-3\right\}\)
Mình sẽ giải từng câu một chi tiết nhé!
Câu a) Tìm chữ số tận cùng của tổng:
\(t = \frac{2}{3} + \frac{3}{7} + \frac{4}{11} + \hdots + \frac{2004}{8011}\)
Phân tích đề bài:
Dãy tổng gồm các phân số có tử số là 2,3,4,... đến 2004, mẫu số là 3,7,11,... đến 8011.
Để xác định chữ số tận cùng của tổng \(t\), ta cần xét tổng giá trị của từng phân số.
Tuy nhiên, với dãy phân số như thế này, tính tổng chính xác sẽ rất khó, đặc biệt vì tử số và mẫu số không có quan hệ đơn giản.
Phương pháp giải:
Nếu đây là bài toán trong đề thi hoặc bài tập có tính mẹo, thường ta sẽ dự đoán chữ số tận cùng dựa vào các phép tính gần đúng hoặc các quy luật đơn giản.
Ví dụ, có thể dãy này tương ứng với dạng:
\(t = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k + 1}{4 k - 1}\)
(do 3,7,11,... là dãy số cộng sai 4; 3 = 4×1-1, 7=4×2-1,...)
Với cách này, ta sẽ thử kiểm tra từng số hạng gần cuối:
Tổng có nhiều số hạng (~2000 số hạng) nhưng mỗi số hạng đều nhỏ hơn 1.
Tổng xấp xỉ khoảng:
\(t \approx \sum_{k = 1}^{2003} \frac{k + 1}{4 k - 1}\)
Để tính chữ số tận cùng, tốt nhất là bạn cần thêm thông tin hoặc kiểm tra đề bài kỹ hơn.
Câu b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn:
Giải hệ đồng dư:
Gọi số cần tìm là \(x\).
Hệ đồng dư:
\(\left{\right. x \equiv 6 \left(\right. m o d 11 \left.\right) \\ x \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right) \\ x \equiv 11 \left(\right. m o d 19 \left.\right)\)
Bước 1: Giải 2 đồng dư trước:
\(x \equiv 6 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\) ⇒ \(x = 11 a + 6\)
Thay vào \(x \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\):
\(11 a + 6 \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right) 11 a + 6 \equiv 1 \Rightarrow 11 a \equiv - 5 \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)
Vì \(11 \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\), nên:
\(3 a \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right) \Rightarrow 3 a - 3 = 4 k 3 \left(\right. a - 1 \left.\right) = 4 k\)
Xét mod 4, vì 3 là nghịch đảo của 3 mod 4, nên:
\(a \equiv 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\)
Vậy:
\(a = 4 b + 1\)
Bước 2: Thay \(a = 4 b + 1\) vào \(x\):
\(x = 11 a + 6 = 11 \left(\right. 4 b + 1 \left.\right) + 6 = 44 b + 11 + 6 = 44 b + 17\)
Bước 3: Thay vào điều kiện thứ ba:
\(x \equiv 11 \left(\right. m o d 19 \left.\right) 44 b + 17 \equiv 11 \left(\right. m o d 19 \left.\right) 44 b \equiv 11 - 17 = - 6 \equiv 13 \left(\right. m o d 19 \left.\right)\)
Lưu ý \(44 \equiv 44 - 38 = 6 \left(\right. m o d 19 \left.\right)\), nên:
\(6 b \equiv 13 \left(\right. m o d 19 \left.\right)\)
Bước 4: Tìm nghịch đảo của 6 mod 19:
Ta tìm số \(k\) sao cho \(6 k \equiv 1 \left(\right. m o d 19 \left.\right)\).
Thử:
Vậy nghịch đảo của 6 mod 19 là 16.
Bước 5: Nhân hai vế với 16:
\(b \equiv 13 \times 16 = 208 \equiv 208 - 209 = - 1 \equiv 18 \left(\right. m o d 19 \left.\right)\)
Vậy:
\(b \equiv 18 \left(\right. m o d 19 \left.\right)\)
Bước 6: Tính \(x\) nhỏ nhất:
Chọn \(b = 18\):
\(x = 44 b + 17 = 44 \times 18 + 17 = 792 + 17 = 809\)
Kiểm tra:
Kết luận:
Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn là 809.
Nếu bạn muốn mình giải câu a) rõ ràng hơn hoặc cần hỗ trợ với phần nào khác, cứ nói nhé!