Nối A với O.
Ta có: SABN = 1/3 SBNC nên đường cao kẻ từ A và C xuống NB có tỉ lệ 1/3
Suy ra SABO = 1/3 SBOC (chung đáy OB)
Tương tự:
SAMC = 1/2SBMC nên dường cao kẻ từ A và B xuống MC có tỉ lệ 1/2
Suy ra SAOC = 1/2 SBOC (chung đáy OC)
Từ đó ta có: SAOC + SAOB = (1/3+1/2)SBOC = 5/6 SBOC
SAOC + SAOB có 5 phần thì SBOC có 6 phần và SABC có (5+6) 11 phần
Vậy: AOCB = 6/11 SABC
SAON=1/2SNOC(vì đáyAN=1/2đáyNC,chung chiều cao hạ từ O)
mà 2 tam giác này chung đáy ON nên chiều cao hạ từ A =chiều cao hạ từ C
SABO=1/2 SBOC(vì chung đáy OB,chiều cao hạ từ A=1/2 chiều cao hạ từ C) (1)
SOBM=1/2 SAOM(vì đáy BM =1/2 đáy AM,chung chiều cao hạ từO)
mà 2 tam giác này chung đáy MO nên chiều cao hạ từ B=1/2 chiều cao hạ từA
SOBC=1/2 SAOC(vì chung đáyOC ,chiều cao hạ từB =chiều cao hạ từA) (2)
từ (1) và (2) ta có:
SAOB=1/2*1/2SAOC
HAY:SAOB=14SAOC
1) \(S_{AMC}=\frac{1}{3}\times S_{ABC}\)(chung đường cao hạ từ \(C\), \(AM=\frac{1}{3}\times AB\))
\(S_{AMN}=\frac{1}{3}\times S_{AMC}\)(chung đường cao hạ từ \(M\), \(AN=\frac{1}{3}\times AC\))
\(S_{AMN}=\frac{1}{3}\times S_{AMC}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}\times S_{ABC}=\frac{1}{9}\times S_{ABC}\)
2) \(S_{AKN}=\frac{1}{3}\times S_{AKC}\)(chung đường cao hạ từ \(K\), \(AN=\frac{1}{3}\times AC\))
\(S_{AKM}=\frac{1}{3}\times S_{AKB}\)(chung đường cao hạ từ \(K\), \(AM=\frac{1}{3}\times AB\))
Cộng lại vế với vế ta được:
\(S_{AKN}+S_{AKM}=\frac{1}{3}\times\left(S_{AKC}+S_{AKB}\right)\)
\(\Leftrightarrow S_{AMKN}=\frac{1}{3}\times S_{ABC}\)
Dễ thấy \(H\)nằm trên đoạn \(AK\)nên \(AH< AK\).
Cô hướng dẫn em giải chi tiết bài toán hình học này như sau:
Bài toán
Cho tam giác \(A B C\), trên cạnh \(A B\) lấy điểm \(M\) sao cho \(A M = \frac{2}{3} A B\).
Trên cạnh \(A C\) lấy điểm \(N\) sao cho \(A N = \frac{2}{3} A C\).
Nối \(B\) với \(N\), nối \(C\) với \(M\), hai đoạn thẳng \(B N\) và \(C M\) cắt nhau tại \(I\).
a) So sánh diện tích hai tam giác \(B M I\) và \(C N I\).
b) Tính tỉ số \(\frac{B I}{I N}\).
Giải chi tiết
1. Đặt ẩn và tọa độ
Gọi \(A B = a\), \(A C = b\).
Chọn \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. a , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , b \left.\right)\).
2. Phương trình BN và CM
Phương trình tham số:
\(\left{\right. x = a \left(\right. 1 - t \left.\right) \\ y = \frac{2}{3} b t\)với \(t \in \left[\right. 1 \left]\right.\).
Phương trình tham số:
\(\left{\right. x = \frac{2}{3} a s \\ y = b \left(\right. 1 - s \left.\right)\)với \(s \in \left[\right. 1 \left]\right.\).
3. Tìm tọa độ giao điểm \(I\)
Tìm \(t , s\) sao cho \(x\) và \(y\) bằng nhau:
\(a \left(\right. 1 - t \left.\right) = \frac{2}{3} a s \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 1 - t = \frac{2}{3} s \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = 1 - \frac{2}{3} s\) \(\frac{2}{3} b t = b \left(\right. 1 - s \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{2}{3} t = 1 - s \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } s = 1 - \frac{2}{3} t\)Thay \(s\) vào biểu thức \(t = 1 - \frac{2}{3} s\):
\(t = 1 - \frac{2}{3} \left(\right. 1 - \frac{2}{3} t \left.\right) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{4}{9} t = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} t\) \(t - \frac{4}{9} t = \frac{1}{3} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{5}{9} t = \frac{1}{3} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{5} = \frac{3}{5}\)Từ đó:
\(s = 1 - \frac{2}{3} t = 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)Vậy tọa độ \(I\) là:
\(x = a \left(\right. 1 - t \left.\right) = a \left(\right. 1 - \frac{3}{5} \left.\right) = a \cdot \frac{2}{5}\) \(y = \frac{2}{3} b t = \frac{2}{3} b \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5} b\)Vậy \(I \left(\right. \frac{2}{5} a , \frac{2}{5} b \left.\right)\).
4. So sánh diện tích \(\triangle B M I\) và \(\triangle C N I\)
Tính diện tích tam giác \(B M I\):
\(S_{B M I} = \frac{1}{2} \mid a & 0 \\ \frac{2}{3} a & 0 \\ \frac{2}{5} a & \frac{2}{5} b \mid\) \(= \frac{1}{2} \mid a \left(\right. 0 - \frac{2}{5} b \left.\right) + \frac{2}{3} a \left(\right. \frac{2}{5} b - 0 \left.\right) + \frac{2}{5} a \left(\right. 0 - 0 \left.\right) \mid\) \(= \frac{1}{2} \mid - a \cdot \frac{2}{5} b + \frac{2}{3} a \cdot \frac{2}{5} b \mid\) \(= \frac{1}{2} \mid - \frac{2}{5} a b + \frac{4}{15} a b \mid\) \(= \frac{1}{2} \mid - \frac{2}{5} + \frac{4}{15} \mid a b = \frac{1}{2} \mid - \frac{6}{15} + \frac{4}{15} \mid a b = \frac{1}{2} \mid - \frac{2}{15} \mid a b = \frac{1}{15} a b\)Tương tự, tính diện tích tam giác \(C N I\):
\(S_{C N I} = \frac{1}{2} \mid 0 \left(\right. b - \frac{2}{5} b \left.\right) + 0 \left(\right. \frac{2}{5} b - b \left.\right) + \frac{2}{5} a \left(\right. b - \frac{2}{3} b \left.\right) \mid\) \(= \frac{1}{2} \mid 0 + 0 + \frac{2}{5} a \left(\right. b - \frac{2}{3} b \left.\right) \mid\) \(= \frac{1}{2} \mid \frac{2}{5} a \left(\right. \frac{1}{3} b \left.\right) \mid = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} a \cdot \frac{1}{3} b = \frac{1}{15} a b\)Kết luận:
\(\boxed{S_{B M I} = S_{C N I}}\)Hai tam giác có diện tích bằng nhau.
5. Tính tỉ số \(\frac{B I}{I N}\)
Tính độ dài \(B I\) và \(I N\):
\(B I = \sqrt{\left(\right. a - \frac{2}{5} a \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - \frac{2}{5} b \left.\right)^{2}} = \sqrt{\left(\right. \frac{3}{5} a \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{2}{5} b \left.\right)^{2}} = \frac{1}{5} \sqrt{9 a^{2} + 4 b^{2}}\) \(I N = \sqrt{\left(\right. \frac{2}{5} a - 0 \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{2}{5} b - \frac{2}{3} b \left.\right)^{2}} = \sqrt{\left(\right. \frac{2}{5} a \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{2}{5} b - \frac{2}{3} b \left.\right)^{2}}\) \(\frac{2}{5} b - \frac{2}{3} b = \frac{6 - 10}{15} b = - \frac{4}{15} b\) \(I N = \sqrt{\left(\right. \frac{2}{5} a \left.\right)^{2} + \left(\right. - \frac{4}{15} b \left.\right)^{2}} = \sqrt{\frac{4}{25} a^{2} + \frac{16}{225} b^{2}} = \frac{1}{15} \sqrt{36 a^{2} + 16 b^{2}}\)Tỉ số:
\(\frac{B I}{I N} = \frac{\frac{1}{5} \sqrt{9 a^{2} + 4 b^{2}}}{\frac{1}{15} \sqrt{36 a^{2} + 16 b^{2}}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{9 a^{2} + 4 b^{2}}}{\sqrt{36 a^{2} + 16 b^{2}}}\)Nhận thấy:
\(36 a^{2} + 16 b^{2} = 4 \left(\right. 9 a^{2} + 4 b^{2} \left.\right)\) \(\sqrt{36 a^{2} + 16 b^{2}} = 2 \sqrt{9 a^{2} + 4 b^{2}}\)Vậy:
\(\frac{B I}{I N} = 3 \cdot \frac{\sqrt{9 a^{2} + 4 b^{2}}}{2 \sqrt{9 a^{2} + 4 b^{2}}} = \frac{3}{2}\)Kết luận
Đúng(0)