Một bài hình cực khó cho các bạn luyện thi học sinh giỏi toán 8 như mình

Cho đoạn thẳng AB = \(\alpha\)không đổi. Lấy một điểm M bất kì sao cho \(\widehat{AMB}\)nhọn. Gọi H là trực tâm của \(\Delta AMB\). MI là đường trung tuyến của \(\Delta AMB\). Từ H kẻ \(HK\perp MI\)( \(K\in MI\)). Chứng minh MI.IK không đổi

Các bạn có thấy lời giải này có vấn đề không ạ? Nếu có thì chữa lại giúp mình ạ. Các bạn đọc kĩ nhé, mình nghĩ là có ...

 Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\ge3\) thì: \(2^n>2n+1\)   (1)  

                   ( chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học)

Giải:

 Với n=3 thì 2^3 = 8 , 2n+1 = 2.3+1=7 . Rõ ràng vế trái lớn hơn vế phải. Vậy (1) đúng với n=3 .

Giả sử (1) đúng với n=k \(\left(k\in N,k\ge3\right)\) , tức là:

\(2^k>2k+1\)

Ta phải chứng minh \(2^{k+1}>2\left(k+1\right)+1\) hay \(2^{k+1}>2k+3\) (2)

Thật vậy: 

\(2^{k+1}>2.2^k\) , mà \(2^k>2k+1\) (theo giả thiết quy nạp)

Do đó: \(2^{k+1}>2\left(2k+1\right)=\left(2k+3\right)+\left(2k-1\right)>2k+3\) ( Vì 2k-1 > 0 )

Vậy (2) đúng với mọi \(k\ge3\)

 => \(2^n>2n+1\) với mọi số nguyên dương n và \(n\ge3\)

Toán HÌNH

Chứng minh đẳng thức\(\frac{1}{\sin\frac{\pi}{7}}\)=\(\frac{1}{\sin\frac{2\pi}{7}}\)+\(\frac{1}{\sin\frac{3\pi}{7}}\)

Đề bài ko ai nghĩ liên quan đến hình học, chỉ là biến đổi lượng giác. Năm 1961 Romania có đề xuất bài này cho IMO, bài ko khó, thay sin\(\frac{3\pi}{7}\)=sin\(\frac{4\pi}{7}\) bài toán trở nên dễ dàng