Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow ab.\left(b+c\right)=\left(a+b\right).bc=ab^2+abc=abc+b^2c\\\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow\left(a+c\right).bc=\left(b+c\right).ac\Rightarrow abc=c^2a=abc+c^2b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=c\\a=b\end{cases}\Rightarrow a=b=c\Rightarrow M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1}\)
Ta có:\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
Ta có:\(\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{a\cdot a^2+a\cdot a^2+a\cdot a^2}{a^3+a^3+a^3}\)\(\Rightarrow\frac{3a^3}{3a^3}=1\)
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{ab}+\frac{b}{ab}=\frac{b}{bc}+\frac{c}{bc}=\frac{c}{ca}+\frac{a}{ac}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
<=> a = b = c
Vậy \(\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{a^3+a^3+a^3}{a^3+a^3+a^3}=1\)
a,Ta có:
\(\left|4x-\frac{7}{3}\right|\ge0\Rightarrow\left|4x-\frac{7}{3}\right|+2004\ge2004\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left|4x-\frac{7}{3}\right|=0\Leftrightarrow4x-\frac{7}{3}=0\Leftrightarrow4x=\frac{7}{3}\Leftrightarrow x=\frac{7}{12}\)
b,Ta có:
\(\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|x-3\right|+\left|x-4\right|=\left|x-1\right|+\left|x-2\right|+\left|3-x\right|+\left|4-x\right|\ge x-1+x-2+3-x+4-x=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x-1\ge0\\x-2\ge0\\3-x\ge0\\4-x\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge1\\x\ge2\\x\le3\\x\le4\end{cases}\)\(\Leftrightarrow2\le x\le3\)
Câu C sai đề
A=\(\left|4x-\frac{7}{3}\right|+2004\ge2004\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=7/12
Vậy GTNN của A là 2004 tại x=7/12
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\) => \(\frac{abc}{\left(a+b\right).c}=\frac{abc}{a.\left(b+c\right)}=\frac{cab}{\left(c+a\right).b}\)<=> \(\frac{abc}{ac+bc}=\frac{abc}{ab+ac}=\frac{abc}{bc+ab}\)
=> ac + bc = ab + ac = bc + ab
+) ac + bc = ab + ac => bc = ab => c = a (do b khác 0)
+) ab + ac = bc + ab => ac = bc => a = b (do c khác 0)
=> a = b = c
Khi đó, \(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\Rightarrow a=b=c\Rightarrow M=1\)
Cho các số thực dương \(a , b , c\) thỏa mãn điều kiện:
\(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 4 a b c = 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) .\)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P = a^{2} \left(\right. 1 - b \left.\right) \left(\right. 1 - c \left.\right) .\)Bước 1: Phân tích điều kiện
Điều kiện:
\(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 4 a b c = 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right) .\)Ta nhận thấy đây là một dạng bất đẳng thức hoặc đẳng thức có liên quan đến các biến \(a , b , c\) dương.
Bước 2: Thử đặt \(a = b = c = t > 0\)
Thay \(a = b = c = t\) vào điều kiện:
\(3 t^{2} + 4 t^{3} = 2 \left(\right. 3 t^{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 t^{2} + 4 t^{3} = 6 t^{2} .\)Chuyển vế:
\(4 t^{3} = 6 t^{2} - 3 t^{2} = 3 t^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 4 t^{3} = 3 t^{2} .\)Với \(t > 0\), chia hai vế cho \(t^{2}\):
\(4 t = 3 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{3}{4} = 0.75.\)Bước 3: Tính giá trị \(P\) khi \(a = b = c = \frac{3}{4}\)
\(P = a^{2} \left(\right. 1 - b \left.\right) \left(\right. 1 - c \left.\right) = t^{2} \left(\right. 1 - t \left.\right)^{2} = t^{2} \left(\right. 1 - t \left.\right)^{2} .\)Thay \(t = 0.75\):
\(P = \left(\right. 0.75 \left.\right)^{2} \left(\right. 1 - 0.75 \left.\right)^{2} = \left(\right. 0.5625 \left.\right) \left(\right. 0.25 \left.\right)^{2} = 0.5625 \times 0.0625 = 0.03515625.\)Bước 4: Xét trường hợp khác
Điều kiện trở thành:
\(a^{2} + 1 + 1 + 4 a \cdot 1 \cdot 1 = 2 \left(\right. a \cdot 1 + 1 \cdot 1 + a \cdot 1 \left.\right) ,\) \(a^{2} + 2 + 4 a = 2 \left(\right. a + 1 + a \left.\right) = 2 \left(\right. 2 a + 1 \left.\right) = 4 a + 2.\)So sánh hai vế:
\(a^{2} + 2 + 4 a = 4 a + 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a^{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = 0 ,\)mâu thuẫn vì \(a > 0\).
Vậy trường hợp này không thỏa mãn.
Bước 5: Đánh giá và kết luận
- Ta đã tìm được một nghiệm đối xứng \(a = b = c = \frac{3}{4}\) thỏa mãn điều kiện.
- Biểu thức \(P = a^{2} \left(\right. 1 - b \left.\right) \left(\right. 1 - c \left.\right)\) đối với \(a = b = c = t\) là \(t^{2} \left(\right. 1 - t \left.\right)^{2}\).
- Hàm số \(f \left(\right. t \left.\right) = t^{2} \left(\right. 1 - t \left.\right)^{2}\) trên \(t > 0\) đạt cực đại tại \(t = \frac{1}{2}\) hoặc \(t = \frac{3}{4}\)? Ta kiểm tra đạo hàm:
\(f \left(\right. t \left.\right) = t^{2} \left(\right. 1 - t \left.\right)^{2} = t^{2} \left(\right. 1 - 2 t + t^{2} \left.\right) = t^{2} - 2 t^{3} + t^{4} .\)Đạo hàm:
\(f^{'} \left(\right. t \left.\right) = 2 t - 6 t^{2} + 4 t^{3} = 2 t \left(\right. 1 - 3 t + 2 t^{2} \left.\right) .\)Giải \(1 - 3 t + 2 t^{2} = 0\):
\(2 t^{2} - 3 t + 1 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4} .\)Hai nghiệm:
\(t = 1 , t = \frac{1}{2} .\)Tuy nhiên, \(t = \frac{1}{2}\) không thỏa mãn điều kiện vì:
\(3 t^{2} + 4 t^{3} = 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} = 1.25 ,\)trong khi
\(2 \left(\right. 3 t^{2} \left.\right) = 2 \times 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2} = 1.5.\)Hai vế không bằng nhau, nên \(t = \frac{1}{2}\) không thỏa mãn điều kiện.
Kết luận
- Giá trị lớn nhất của \(P\) với điều kiện đã cho là
Pmax=(34)2(1−34)2=916×116=9256=0.03515625.P_{\max} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \left(1 - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \times \frac{1}{16} = \frac{9}{256} = 0.03515625.Pmax=(43)2(1−43)2=169×161=2569=0.03515625.Nếu bạn cần, tôi có thể giúp bạn chứng minh chặt chẽ hơn hoặc tìm nghiệm khác!