Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1.\) \(\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a^2+a+6\right)+4a^2=\left(a^2+5a+6\right)\left(a^2+a+6\right)+4a^2\)
Đặt \(t=a^2+3a+6\) , ta được:
\(\left(t+2a\right)\left(t-2a\right)+4a^2=t^2-4a^2+4a^2=t^2=\left(a^2+3a+6\right)^2\)
Ta có \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\)
> \(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}=1\)(1)
Tương tự ta chứng minh được \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{a+d}>1\)(2)
mà \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{c}{c+d}+\frac{a}{a+d}+\frac{d}{a+d}=4\)(3)
Từ (1) (2) (3) => \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}=2\left(a;b;c;d\inℕ\right)\)
Câu 1:
Ta có: \(2a^2+a=3b^2+b\Rightarrow2a^2+a-3b^2-b=0\Rightarrow3\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=a^2\)
\(\Rightarrow3\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=a^2\Rightarrow\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)=a^2\)
Gọi \(ƯCLN\)\(\left(a-b;3a+3b+1\right)=d\)
=> \(a-b⋮d;3a+3b+1⋮d\Rightarrow\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)⋮d^2\Rightarrow a^2⋮d^2\Rightarrow a⋮d\Rightarrow6a⋮d\left(1\right)\)
Mà ta lại có: \(3\left(a-b\right)+\left(3a+3b+1\right)⋮d\Rightarrow6a +1⋮d\left(2\right)\)
Từ 1 và 2 => \(d=1\) => \(a-b\) và \(3a+3b+1\) là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Và đồng thời \(3a+3b+1>a-b\Rightarrow\begin{cases}3a+3b+1=a^2\\a-b=1^2\end{cases}\)
Vậy \(3a+3b+1\) và \(a-b\) đều là các số chính phương.
Câu 2:
Ta có: \(6x+5y+18=2xy\Rightarrow5y+18=2xy-6x=2x\left(y-3\right)\Rightarrow2x=\frac{5y+18}{y-3}=\frac{5\left(y-3\right)+33}{y-3}=5+\frac{33}{y-3}\)
Do \(x;y\in Z\Rightarrow\)\(\frac{33}{y-3}\in Z\Rightarrow33⋮y-3\Rightarrow y-3\inƯ\left(33\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm11;\pm33\right\}\)
Ta có bảng sau:
| y-3 | 1 | -1 | 3 | -3 | 11 | -11 | 33 | -33 |
| 2x-5 | 33 | -33 | 11 | -11 | 3 | -3 | 1 | -1 |
| 2x | 38 | -28 | 16 | -6 | 8 | 2 | 6 | 4 |
| x | 19 | -14 | 8 | -3 | 4 | 1 | 3 | 2 |
| y | 4 | 2 | 6 | 0 | 14 | -9 | 36 | -30 |
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(19;4\right);\left(-14;2\right);\left(8;6\right);\left(-3;0\right);\left(4;14\right);\left(1;-9\right);\left(3;36\right);\left(2;-30\right)\)
Thế chú học có hơn ai không mà sao chú nói vậy đấy ngon làm đi
lp 8 mà khó thế -,-
Có \(4=a^4+b^4+c^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(abc\right)^4}=4abc\)\(\Leftrightarrow\)\(-abc\ge-1\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}=\frac{a+b+c}{4-abc}\le\frac{a+b+c}{4-1}=\frac{a+b+c}{3}\)
Lại có \(3=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^4}{9}}{3}=\frac{\left(a+b+c\right)^4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^4\le81\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca}\le\frac{a+b+c}{3}\le\frac{3}{3}=1\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
Đề bài:
\(\frac{a^{3} - 2 b^{3} + c^{3}}{a + b + c}\)Cho các số nguyên dương \(a , b , c\) thỏa mãn \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).
Chứng minh rằng biểu thức
là một số nguyên.
Phân tích đề bài
Cho \(a , b , c\) nguyên dương thỏa mãn \(\frac{a}{b} = \frac{c}{b}\) (hoặc \(a , b , c\) thỏa mãn một tỉ lệ nào đó).
Cho \(a , b , c\) nguyên dương thỏa mãn \(\frac{a}{b} = \frac{c}{b}\), tức \(a = c\), chứng minh biểu thức
\(\frac{a^{3} - 2 b^{3} + c^{3}}{a + b + c}\)
là số nguyên.
Giải (theo giả thiết \(a = c\))
Thay \(c = a\) vào biểu thức:
\(\frac{a^{3} - 2 b^{3} + a^{3}}{a + b + a} = \frac{2 a^{3} - 2 b^{3}}{2 a + b} .\)Ta viết lại:
\(\frac{2 a^{3} - 2 b^{3}}{2 a + b} = 2 \cdot \frac{a^{3} - b^{3}}{2 a + b} .\)Phân tích tử số
Áp dụng công thức hiệu lập phương:
\(a^{3} - b^{3} = \left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right) .\)Vậy:
\(\frac{a^{3} - b^{3}}{2 a + b} = \frac{\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right)}{2 a + b} .\)Kiểm tra tính chia hết
Để biểu thức trên là số nguyên, cần \(2 a + b\) chia hết cho \(\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. a^{2} + a b + b^{2} \left.\right)\) hoặc có mối quan hệ đặc biệt giữa \(a , b\).
Kết luận
Vì đề bài chưa rõ ràng (thiếu thông tin về \(d\), hoặc điều kiện liên quan), bạn vui lòng kiểm tra lại đề chính xác hoặc cung cấp thêm thông tin để mình có thể giúp bạn chứng minh đúng và đầy đủ hơn.
Nếu bạn có đề bài chính xác hơn hoặc cần hỗ trợ các bài toán khác, hãy gửi lại nhé!