Ta có: \(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P\left(-1\right)=a\left(-1\right)^2-b+c=a-b+c\\P\left(-2\right)=a.\left(-2\right)^2-2b+c=4a-2b+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P\left(-1\right).P\left(-2\right)\)

\(=\left(a-b+c\right)\left(4a-2b+c\right)\)

\(=[5a-3b+c-4a+2b-c]\left(4a-2b+c\right)\)

\(=[0-\left(4a-2b+c\right)]\left(4a-2b+c\right)\)

\(=-\left(4a-2b+c\right)\left(4a-2b+c\right)\)

\(=-\left(4a-2b+c\right)^2\)

Mặt khác \(\left(4a-2b+c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow-\left(4a-2b+c\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow P\left(-1\right).P\left(-2\right)\le0\left(đpcm\right)\)

\(f\left(x\right)\)có hai nghiệm là x=-1 và x=1

ta có: \(f\left(1\right)=0\Leftrightarrow1^3+a+b-2=0\Leftrightarrow a+b=1\)(1)

\(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3+a\left(-1\right)^2+b\left(-1\right)-2=0\Leftrightarrow a-b=3\)(2)

Từ (1) VÀ (2) TA CÓ: \(a=\frac{1+3}{2}=2;b=\frac{1-3}{2}=-1\)

b)Đề bài tìm số chính phương có bốn chữ số khác nhau ?

Đặt : \(\overline{abcd}=n^2;\overline{dcba}=m^2\)(g/s m, n là các số tự nhiên)

Theo bài ta có các giả thiết sau:  

\(1000\le m^2,n^2\le9999\Rightarrow32\le m;n\le99\)(1)

\(m^2⋮n^2\Rightarrow m⋮n\)(2)

=> Đặt m=kn (k là số tự nhiên, K>1)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}32\le n\le99\\32\le m\le99\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}32.k\le kn\le99k\\32\le kn\le99\end{cases}\Rightarrow}32k\le kn\le99\Rightarrow k\le\frac{99}{32}\Rightarrow k\le3\)

Vậy nên k=2 hoặc bằng 3

Vì \(m=kn\Rightarrow m^2=k^2.n^2\Rightarrow\overline{dcba}=k^2.\overline{abcd}\)

+) Với k=2

Ta có: \(\overline{dcba}=4.\overline{abcd}\)

Vì  \(\overline{abcd};\overline{dcba}\)là các số chính phương có 4 chữ số khác nhau \(\Rightarrow d,a\in\left\{1;4;6;9;\right\}\)

và \(\overline{dcba}⋮\overline{abcd}\)nên d>a(2)

@) Khi \(a\ge4\Rightarrow\overline{dcba}\ge4.\overline{4bcd}>9999\)(loại)

Nên a=1.

Ta có: \(\overline{dcb1}=4.\overline{1bcd}\)vô lí vì không có số \(d\in\left\{1;4;6;9;\right\}\)nhân với 4 bằng 1

+) Với K=3

tương tự lập luận trên ta có a=1

Ta có: \(\overline{dcb1}=9.\overline{1bcd}\)=> d=9

Ta có: \(\overline{9cb1}=9.\overline{1bc9}\Leftrightarrow9000+c.100+b.10+1=9\left(1000+b.100+c.10+9\right)\)

\(\Leftrightarrow10c=890b+80\Leftrightarrow c=89b+8\)vì c, b là các số tự nhiên từ 0, đến 9

=> b=0; c=8

=> Số cần tìm 1089 và 9801 thỏa mãn với các điều kiện bài toán 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c+d=100\\a-b+c-d=-50\\8a+4b+2c+d=120\\27a+9b+3c+d=P\left(3\right)\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\\\left(3\right)\\\left(4\right)\end{matrix}\)

(1)+(2) \(\Leftrightarrow2\left(a+c\right)=50\Rightarrow c=25-a\)

(1)-(2) \(\Leftrightarrow2\left(b+d\right)=150\Rightarrow b=75-d\)

thế vào (3)<=> \(8a+4\left(75-d\right)+2\left(25-a\right)+d=120\)

\(\Leftrightarrow6a-3d=230\Rightarrow d=2a+\dfrac{230}{3}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=25-a\\b=-2a-\dfrac{5}{3}\\d=2a+\dfrac{230}{3}\end{matrix}\right.\)

\(P\left(3\right)=27a-9\left(2a+\dfrac{5}{3}\right)+3\left(25-a\right)+2a+\dfrac{230}{3}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\forall a\in R;a\ne0\\P\left(3\right)=8a+\dfrac{410}{3}\end{matrix}\right.\)

bn vào link này tham khảo bài của Ace Legona :https://hoc24.vn/hoi-dap/question/241534.html