Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chị sợ e kh hỉu nên chỵ làm dài dòng xíu nha. em hỉu r thi thu gọn lại bỏ bớt mấy chỗ k cần thiết
1. Vì p nguyên tố và p>3 => p không chia hết cho 3 => p=3k+1 hoặc p=3k+2
Nếu p = 3k+1 =>(p-1).(p+1) =(3k+1-1).(3k+1+1)= 3k(3k+2)
Vì 3k chia hết 3 => 3k(3k+2) chia hết cko 3. Hay(p-1).(p+1) ckia hết cho 3 (1)
Tương tự p=3k+2 =>p+1 = 3k+3 chia hết cho 3 =)( p-1)(p+1) chia hết cho 3 (2)
từ (1),(2) => (p-1)(p+1) chia het cho 3
Vì p nto và p >3 => p lẻ => p = 2h+1
Ta có (p-1).(p+1)= (2h+1-1)(2h+1+1)= 2h(2h+2)
Mà 2h và 2h+1 là tích 2 số chẵn liên tiếp => 2h(2h+2) chia hết cho 8
Mà (3,8)=1 => (p-1)(p+1) chia hết cho 24
cmr : với mọi số nguyên n thì B=n2+3n+4 không chia hết cho 49
\(60=3.4.5\)
Ta cần chứng minh xyz chia hết cho 3 ; 4 và 5
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z đều không chia hết cho 3
Khi đó x ; y và z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 => x2 ; y2 và z2 chia cho 3 dư 1
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 3 )
Vô lí vì \(z^2\equiv1\) ( mod 3 )
Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3, do đó \(xyz⋮3\) ( 1 )
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 4
Khi đó x ; y và z chia cho 4 dư 1 ; 2 hoặc 3
- TH1 : Cả x ; y và z lẻ => x2 ; y2 và z2 chia 4 dư 1
\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại )
- TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn => xyz chia hết cho 4
- TH3 : Có 1 số chẵn và 2 số lẻ
+) Với x ; y lẻ thì \(z^2=x^2+y^2\equiv1+1=2\) ( mod 4 ) ( loại do z chẵn nên \(z^2\equiv0\) ( mod 4 ) )
+) Với x ; z lẻ thì \(y^2=z^2-x^2\equiv\left(z-x\right)\left(z+x\right)\) .Ta có bảng sau :
| z | x | z- |
| 4m + 1 | 4n + 1 | 4( m - n ) |
| 4m + 3 | 4n + 1 | 4 ( n - n ) + 2 |
Các trường hợp khác tương tự
Ta luôn có \(y^2=\left(z-x\right)\left(z+x\right)⋮8\) . Trong khi đó y2 không chia hết cho 4 nhưng lại chia hết cho 8 => Mâu thuẫn
Vậy tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 \(\Rightarrow xyz⋮4\) ( 2 )
\(∗\)Giả sử cả x ; y và z không chia hết cho 5
Khi đó x ; y và z chia cho 5 dư 1 ; 2 ; 3 hoặc 4 => x2 ; y2 và z2 chia cho 5 dư 1 hoặc -1
- TH1 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv2\) ( mod 5 ) ( loại )
- TH2 : \(x^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) ( loại )
- TH3 : \(x^2\equiv1\) ( mod 5 ) ; \(y^2\equiv-1\) ( mod 5 ) \(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\equiv0\) ( mod 5 ) ( loại )
Vậy tồn tại ít nhất một số chia hết cho 5 \(\Rightarrow xyz⋮5\) ( 3 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) và ( 3 ) \(\Rightarrow xyz⋮3.4.5=60\left(đpcm\right)\)
Đề bài:
Cho các số nguyên dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x y + 1\) chia hết cho 24. Chứng minh rằng \(x + y\) cũng chia hết cho 24.
Phân tích đề bài
Ta có:
\(24 \mid \left(\right. x y + 1 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x y \equiv - 1 \left(\right. m o d 24 \left.\right) .\)Muốn chứng minh:
\(24 \mid \left(\right. x + y \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x + y \equiv 0 \left(\right. m o d 24 \left.\right) .\)Bước 1: Phân tích modulo 24
Ta sẽ xét đồng thời modulo 3 và modulo 8 vì \(24 = 3 \times 8\) và 3, 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Xét modulo 3
Ta có:
\(x y \equiv - 1 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)Vì \(x , y\) là số nguyên dương, modulo 3 chỉ có thể là 0, 1 hoặc 2.
Kiểm tra các trường hợp:
\(x \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)x(mod3)x \pmod{3}x(mod3)
\(y \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)y(mod3)y \pmod{3}y(mod3)
\(x y \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)xy(mod3)xy \pmod{3}xy(mod3)
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
Do đó, để \(x y \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta phải có \(x \equiv 1 , y \equiv 2\) hoặc \(x \equiv 2 , y \equiv 1\).
Từ đó:
\(x + y \equiv 1 + 2 = 3 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)Xét modulo 8
Ta có:
\(x y \equiv - 1 \equiv 7 \left(\right. m o d 8 \left.\right) .\)Các số nguyên dương modulo 8 có thể là 1, 3, 5, 7 (các số lẻ) hoặc 0, 2, 4, 6 (các số chẵn).
Xét \(x y \equiv 7 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\):
Các số lẻ modulo 8 là 1, 3, 5, 7.
Kiểm tra các cặp \(\left(\right. x , y \left.\right) \left(\right. m o d 8 \left.\right)\) sao cho \(x y \equiv 7\):
\(x\)xxx
\(y\)yyy
\(x y \left(\right. m o d 8 \left.\right)\)xy(mod8)xy \pmod{8}xy(mod8)
1
7
7
3
3
1
3
5
7
5
3
7
5
7
3
7
1
7
7
5
3
Các cặp cho \(x y \equiv 7\) modulo 8 là:
\(\left(\right. 1 , 7 \left.\right) , \left(\right. 7 , 1 \left.\right) , \left(\right. 3 , 5 \left.\right) , \left(\right. 5 , 3 \left.\right) .\)Tính \(x + y \left(\right. m o d 8 \left.\right)\) với các cặp này:
Bước 2: Kết luận
- Ta có \(x + y \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) và \(x + y \equiv 0 \left(\right. m o d 8 \left.\right)\).
- Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau, theo định lý Định lý đồng dư Trung Hoa (CRT), ta suy ra:
\(x + y \equiv 0 \left(\right. m o d 24 \left.\right) .\)Đáp số:
\(\boxed{24 \mid \left(\right. x + y \left.\right) .}\)Nếu bạn cần mình giải thích thêm hoặc làm rõ từng bước, cứ hỏi nhé!