Câu hỏi của Bảo An Nguyễn

Question

Chứng minh rằng tồn tại đa thức P(x)/Q(x) có bậc lớn hơn 1 và có các hệ số nguyên thỏa mãn P(x) * Q(x )= x^5 + 2x + 1

Gia Bao · Accepted Answer

Đề bài:
Chứng minh tồn tại đa thức $P \left(\right. x \left.\right)$ và $Q \left(\right. x \left.\right)$ có bậc lớn hơn 1, có hệ số nguyên, sao cho

$P \left(\right. x \left.\right) \cdot Q \left(\right. x \left.\right) = x^{5} + 2 x + 1.$

Phân tích đề bài

Đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ là đa thức bậc 5 với hệ số nguyên.
Yêu cầu tìm hai đa thức $P \left(\right. x \left.\right)$ và $Q \left(\right. x \left.\right)$ có bậc lớn hơn 1, hệ số nguyên, sao cho tích của chúng bằng đa thức trên.
Nói cách khác, đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc ít nhất 2 với hệ số nguyên.

Hướng giải

Bước 1: Giả sử dạng của $P \left(\right. x \left.\right)$ và $Q \left(\right. x \left.\right)$

Gọi

$P \left(\right. x \left.\right) = a x^{m} + \hdots \textrm{ } , Q \left(\right. x \left.\right) = b x^{n} + \hdots \textrm{ } ,$

với $m , n \geq 2$ và $m + n = 5$.

Vì tổng bậc hai đa thức bằng 5, nên có thể là:

$m = 2 , n = 3$ hoặc
$m = 3 , n = 2$.

Bước 2: Giả sử $P \left(\right. x \left.\right)$ bậc 2, $Q \left(\right. x \left.\right)$ bậc 3

Gọi

$P \left(\right. x \left.\right) = a x^{2} + b x + c , Q \left(\right. x \left.\right) = d x^{3} + e x^{2} + f x + g ,$

với $a , b , c , d , e , f , g \in \mathbb{Z}$ (hệ số nguyên).

Bước 3: Viết tích $P \left(\right. x \left.\right) Q \left(\right. x \left.\right)$

$P \left(\right. x \left.\right) Q \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. a x^{2} + b x + c \left.\right) \left(\right. d x^{3} + e x^{2} + f x + g \left.\right) .$

Khai triển:

$= a d x^{5} + a e x^{4} + a f x^{3} + a g x^{2} + b d x^{4} + b e x^{3} + b f x^{2} + b g x + c d x^{3} + c e x^{2} + c f x + c g .$

Nhóm theo bậc:

$x^{5} : a d$
$x^{4} : a e + b d$
$x^{3} : a f + b e + c d$
$x^{2} : a g + b f + c e$
$x^{1} : b g + c f$
$x^{0} : c g$

Bước 4: So sánh với đa thức $x^{5} + 2 x + 1$

Ta có hệ phương trình:

$\left{\right. a d = 1 \ a e + b d = 0 \ a f + b e + c d = 0 \ a g + b f + c e = 0 \ b g + c f = 2 \ c g = 1$

Bước 5: Giải hệ phương trình

Từ $a d = 1$, vì $a , d \in \mathbb{Z}$, nên $a = d = \pm 1$.

Giả sử $a = d = 1$ (trường hợp $a = d = - 1$ tương tự).

Từ $c g = 1$, với $c , g \in \mathbb{Z}$, nên $c = g = \pm 1$.

Giả sử $c = g = 1$.

Từ $a e + b d = e + b = 0 \Rightarrow e = - b$.
Từ $a f + b e + c d = f + b \left(\right. - b \left.\right) + 1 = f - b^{2} + 1 = 0 \Rightarrow f = b^{2} - 1$.
Từ $a g + b f + c e = 1 + b f + e = 0 \Rightarrow 1 + b f + e = 0$.

Thay $e = - b$, $f = b^{2} - 1$:

$1 + b \left(\right. b^{2} - 1 \left.\right) - b = 0 \Rightarrow 1 + b^{3} - b - b = 0 \Rightarrow 1 + b^{3} - 2 b = 0.$

Từ $b g + c f = b + f = 2$.

Thay $f = b^{2} - 1$:

$b + b^{2} - 1 = 2 \Rightarrow b^{2} + b - 3 = 0.$

Bước 6: Giải hai phương trình với $b$

Phương trình thứ nhất:

$b^{3} - 2 b + 1 = 0 ,$

phương trình thứ hai:

$b^{2} + b - 3 = 0.$

Bước 7: Kiểm tra nghiệm nguyên

Phương trình $b^{2} + b - 3 = 0$ có nghiệm:

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2} ,$

không phải số nguyên.

Bước 8: Thử $c = g = - 1$

Tương tự, ta có:

$c g = 1 \Rightarrow c = g = - 1$.
Phương trình $b g + c f = - b - f = 2 \Rightarrow f = - b - 2$.
Phương trình $a g + b f + c e = - 1 + b f - e = 0$.

Thay $e = - b$, $f = - b - 2$:

$- 1 + b \left(\right. - b - 2 \left.\right) - \left(\right. - b \left.\right) = - 1 - b^{2} - 2 b + b = - 1 - b^{2} - b = 0 \Rightarrow b^{2} + b + 1 = 0 ,$

vô nghiệm nguyên.

Bước 9: Kết luận

Hệ phương trình không có nghiệm nguyên với giả sử $a = d = \pm 1$, $c = g = \pm 1$.

Bước 10: Tìm nghiệm khác

Bạn có thể thử nghiệm các giá trị khác cho $a , d , c , g$ (ví dụ $\pm 1 , \pm 2$) hoặc thử phân tích đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ trực tiếp.

Kết luận chung:

Đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc 2 và 3 với hệ số nguyên nếu tồn tại nghiệm nguyên của hệ trên.
Việc chứng minh tồn tại $P \left(\right. x \left.\right) , Q \left(\right. x \left.\right)$ như yêu cầu tương đương với việc phân tích đa thức trên thành nhân tử có hệ số nguyên.
Nếu đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ là đa thức nguyên tố (không phân tích được), thì không tồn tại đa thức $P , Q$ thỏa mãn.
Để chắc chắn, cần kiểm tra tính nguyên tố của đa thức hoặc thử phân tích bằng các phương pháp khác.

Nếu bạn muốn, mình có thể giúp bạn kiểm tra đa thức này có phân tích được hay không hoặc hướng dẫn cách chứng minh đa thức nguyên tố!

Câu trả lời:

Đề bài:
Chứng minh tồn tại đa thức $P \left(\right. x \left.\right)$ và $Q \left(\right. x \left.\right)$ có bậc lớn hơn 1, có hệ số nguyên, sao cho

$P \left(\right. x \left.\right) \cdot Q \left(\right. x \left.\right) = x^{5} + 2 x + 1.$

Phân tích đề bài

Đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ là đa thức bậc 5 với hệ số nguyên.
Yêu cầu tìm hai đa thức $P \left(\right. x \left.\right)$ và $Q \left(\right. x \left.\right)$ có bậc lớn hơn 1, hệ số nguyên, sao cho tích của chúng bằng đa thức trên.
Nói cách khác, đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc ít nhất 2 với hệ số nguyên.

Hướng giải

Bước 1: Giả sử dạng của $P \left(\right. x \left.\right)$ và $Q \left(\right. x \left.\right)$

Gọi

$P \left(\right. x \left.\right) = a x^{m} + \hdots \textrm{ } , Q \left(\right. x \left.\right) = b x^{n} + \hdots \textrm{ } ,$

với $m , n \geq 2$ và $m + n = 5$.

Vì tổng bậc hai đa thức bằng 5, nên có thể là:

$m = 2 , n = 3$ hoặc
$m = 3 , n = 2$.

Bước 2: Giả sử $P \left(\right. x \left.\right)$ bậc 2, $Q \left(\right. x \left.\right)$ bậc 3

Gọi

$P \left(\right. x \left.\right) = a x^{2} + b x + c , Q \left(\right. x \left.\right) = d x^{3} + e x^{2} + f x + g ,$

với $a , b , c , d , e , f , g \in \mathbb{Z}$ (hệ số nguyên).

Bước 3: Viết tích $P \left(\right. x \left.\right) Q \left(\right. x \left.\right)$

$P \left(\right. x \left.\right) Q \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. a x^{2} + b x + c \left.\right) \left(\right. d x^{3} + e x^{2} + f x + g \left.\right) .$

Khai triển:

$= a d x^{5} + a e x^{4} + a f x^{3} + a g x^{2} + b d x^{4} + b e x^{3} + b f x^{2} + b g x + c d x^{3} + c e x^{2} + c f x + c g .$

Nhóm theo bậc:

$x^{5} : a d$
$x^{4} : a e + b d$
$x^{3} : a f + b e + c d$
$x^{2} : a g + b f + c e$
$x^{1} : b g + c f$
$x^{0} : c g$

Bước 4: So sánh với đa thức $x^{5} + 2 x + 1$

Ta có hệ phương trình:

$\left{\right. a d = 1 \ a e + b d = 0 \ a f + b e + c d = 0 \ a g + b f + c e = 0 \ b g + c f = 2 \ c g = 1$

Bước 5: Giải hệ phương trình

Từ $a d = 1$, vì $a , d \in \mathbb{Z}$, nên $a = d = \pm 1$.

Giả sử $a = d = 1$ (trường hợp $a = d = - 1$ tương tự).

Từ $c g = 1$, với $c , g \in \mathbb{Z}$, nên $c = g = \pm 1$.

Giả sử $c = g = 1$.

Từ $a e + b d = e + b = 0 \Rightarrow e = - b$.
Từ $a f + b e + c d = f + b \left(\right. - b \left.\right) + 1 = f - b^{2} + 1 = 0 \Rightarrow f = b^{2} - 1$.
Từ $a g + b f + c e = 1 + b f + e = 0 \Rightarrow 1 + b f + e = 0$.

Thay $e = - b$, $f = b^{2} - 1$:

$1 + b \left(\right. b^{2} - 1 \left.\right) - b = 0 \Rightarrow 1 + b^{3} - b - b = 0 \Rightarrow 1 + b^{3} - 2 b = 0.$

Từ $b g + c f = b + f = 2$.

Thay $f = b^{2} - 1$:

$b + b^{2} - 1 = 2 \Rightarrow b^{2} + b - 3 = 0.$

Bước 6: Giải hai phương trình với $b$

Phương trình thứ nhất:

$b^{3} - 2 b + 1 = 0 ,$

phương trình thứ hai:

$b^{2} + b - 3 = 0.$

Bước 7: Kiểm tra nghiệm nguyên

Phương trình $b^{2} + b - 3 = 0$ có nghiệm:

$b = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2} ,$

không phải số nguyên.

Bước 8: Thử $c = g = - 1$

Tương tự, ta có:

$c g = 1 \Rightarrow c = g = - 1$.
Phương trình $b g + c f = - b - f = 2 \Rightarrow f = - b - 2$.
Phương trình $a g + b f + c e = - 1 + b f - e = 0$.

Thay $e = - b$, $f = - b - 2$:

$- 1 + b \left(\right. - b - 2 \left.\right) - \left(\right. - b \left.\right) = - 1 - b^{2} - 2 b + b = - 1 - b^{2} - b = 0 \Rightarrow b^{2} + b + 1 = 0 ,$

vô nghiệm nguyên.

Bước 9: Kết luận

Hệ phương trình không có nghiệm nguyên với giả sử $a = d = \pm 1$, $c = g = \pm 1$.

Bước 10: Tìm nghiệm khác

Bạn có thể thử nghiệm các giá trị khác cho $a , d , c , g$ (ví dụ $\pm 1 , \pm 2$) hoặc thử phân tích đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ trực tiếp.

Kết luận chung:

Đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc 2 và 3 với hệ số nguyên nếu tồn tại nghiệm nguyên của hệ trên.
Việc chứng minh tồn tại $P \left(\right. x \left.\right) , Q \left(\right. x \left.\right)$ như yêu cầu tương đương với việc phân tích đa thức trên thành nhân tử có hệ số nguyên.
Nếu đa thức $x^{5} + 2 x + 1$ là đa thức nguyên tố (không phân tích được), thì không tồn tại đa thức $P , Q$ thỏa mãn.
Để chắc chắn, cần kiểm tra tính nguyên tố của đa thức hoặc thử phân tích bằng các phương pháp khác.

Nếu bạn muốn, mình có thể giúp bạn kiểm tra đa thức này có phân tích được hay không hoặc hướng dẫn cách chứng minh đa thức nguyên tố!

Phân tích đề bài

Hướng giải

Bước 1: Giả sử dạng của \(P \left(\right. x \left.\right)\) và \(Q \left(\right. x \left.\right)\)

Bước 2: Giả sử \(P \left(\right. x \left.\right)\) bậc 2, \(Q \left(\right. x \left.\right)\) bậc 3

Bước 3: Viết tích \(P \left(\right. x \left.\right) Q \left(\right. x \left.\right)\)

Bước 4: So sánh với đa thức \(x^{5} + 2 x + 1\)

Bước 5: Giải hệ phương trình

Bước 6: Giải hai phương trình với \(b\)

Bước 7: Kiểm tra nghiệm nguyên

Bước 8: Thử \(c = g = - 1\)

Bước 9: Kết luận

Bước 10: Tìm nghiệm khác

Kết luận chung:

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Phân tích đề bài

Hướng giải

Bước 1: Giả sử dạng của \(P \left(\right. x \left.\right)\) và \(Q \left(\right. x \left.\right)\)

Bước 2: Giả sử \(P \left(\right. x \left.\right)\) bậc 2, \(Q \left(\right. x \left.\right)\) bậc 3

Bước 3: Viết tích \(P \left(\right. x \left.\right) Q \left(\right. x \left.\right)\)

Bước 4: So sánh với đa thức \(x^{5} + 2 x + 1\)

Bước 5: Giải hệ phương trình

Bước 6: Giải hai phương trình với \(b\)

Bước 7: Kiểm tra nghiệm nguyên

Bước 8: Thử \(c = g = - 1\)

Bước 9: Kết luận

Bước 10: Tìm nghiệm khác

Kết luận chung:

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP