Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn D
Phương pháp:
Xác định khoảng cách sau đó dùng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách đó.
Cách giải:
Chọn A.
Xác định được
Vì M là trung điểm SA nên
Kẻ AK ⊥ DM và chứng minh được AK ⊥ (CDM) nên
Trong tam giác vuông MAD tính được
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.
Xét cạnh $SC$:
$\vec{SC} = (a,2a,-h)$, $SC = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + h^2} = \sqrt{5a^2 + h^2}$.
Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SC} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{5a^2 + h^2}}$.
Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{5a^2 + h^2} \Rightarrow 3(5a^2 + h^2) = 4h^2$
$\Rightarrow 15a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 15a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{15}$.
⇒ $S(0,0,a\sqrt{15})$.
Trung điểm: $M\left(0,0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right),\ N\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$.
Xét mặt phẳng $(DMN)$:
$\vec{DM} = (0,-2a,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}),\ \vec{DN} = \left(\dfrac{a}{2},-2a,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$.
Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{DM} \times \vec{DN} = \left(0,\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4},a^2\right)$.
Khoảng cách từ $S$ đến $(DMN)$:
$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{DS}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{DS} = (0,-2a,a\sqrt{15})$.
Tính: $\vec{n} \cdot \vec{DS} = 0 + \dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}(-2a) + a^2 \cdot a\sqrt{15} = -\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2} + a^3\sqrt{15} = \dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{\left(\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}\right)^2 + a^4} = a^2\sqrt{\dfrac{15}{16} + 1} = a^2\sqrt{\dfrac{31}{16}} = \dfrac{a^2\sqrt{31}}{4}$.
Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}}{\dfrac{a^2\sqrt{31}}{4}} = \dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{31}}$.
Đáp án: A. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{31}}$
Đáp án B.
Vẽ đường thẳng d qua B và song song với AC.
Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên d và SB, L là hình chiếu của H trên SK.
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là
$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$
và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử
$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.
Vector $\vec{AC} = C-A = (a,2a,0)$ và vector $\vec{SB} = B-S = \left(a - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, 0, -h\right)$.
Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{3}$. Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:
Vector pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}$, với $C=(a,2a,0)$, $S=(\dfrac{a}{2},0,h)$:
$\overrightarrow{SC} = C-S = \left(a-\dfrac{a}{2}, 2a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2},2a,-h\right)$
$\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\dfrac{a}{2} & 0 & -h \\\dfrac{a}{2} & 2a & -h\end{vmatrix} = (2ah, 0, a^2)$
Khoảng cách từ $D(0,2a,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$:
$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \overrightarrow{SD} |}{|\vec{n}|} = 2a\sqrt{3} \Rightarrow h = a\sqrt{3}$
Vậy $S = \left(\dfrac{a}{2},0,a\sqrt{3}\right)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$:
$d = \dfrac{| (\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} |}{|\vec{AC} \times \vec{SB}|}$
Tính vector:
$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & 2a & 0 \\\dfrac{a}{2} & 0 & -a\sqrt{3}\end{vmatrix} = (-4a^2\sqrt{3})\mathbf{i} + (a^2 \sqrt{3})\mathbf{j} + (-a^2)\mathbf{k}$
$\overrightarrow{SA} = A-S = \left(-\dfrac{a}{2},0,-a\sqrt{3}\right)$
Tích vô hướng:
$(\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} = (-4a^2\sqrt{3}) \cdot (-\dfrac{a}{2}) + (a^2 \sqrt{3}) \cdot 0 + (-a^2) \cdot (-a\sqrt{3}) = 3a^3\sqrt{3}$
Độ dài tích có hướng:
$|\vec{AC} \times \vec{SB}| = \sqrt{(-4a^2\sqrt{3})^2 + (a^2\sqrt{3})^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{52a^4} = 2a^2\sqrt{13}$
Vậy khoảng cách giữa $SB$ và $AC$:
$d = \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{2a^2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$
Đáp án: $d = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$
Gọi G là trọng tâm SBC và M là trung điểm BC
\(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}SM\Rightarrow d\left(G;\left(ABCD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(S;\left(ABCD\right)\right)=\dfrac{1}{3}SA=\dfrac{a}{3}\)
Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.
Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.
Xét cạnh $SD$:
$\vec{SD} = (0,2a,-h),\ SD = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{4a^2 + h^2}$.
Góc giữa $SD$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SD} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{4a^2 + h^2}}$.
Giải ra:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{4a^2 + h^2} \Rightarrow 3(4a^2 + h^2) = 4h^2$
$\Rightarrow 12a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 12a^2 \Rightarrow h = 2a\sqrt{3}$.
⇒ $S(0,0,2a\sqrt{3})$.
Xét mặt phẳng $(SBD)$:
$\vec{SB} = (a,0,-2a\sqrt{3}),\ \vec{SD} = (0,2a,-2a\sqrt{3})$.
Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (4a^2\sqrt{3},\ 2a^2\sqrt{3},\ 2a^2)$.
Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:
$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,2a\sqrt{3})$.
Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 \cdot 2a\sqrt{3} = 4a^3\sqrt{3}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{(4a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2\sqrt{3})^2 + (2a^2)^2} = a^2\sqrt{48 + 12 + 4} = a^2\sqrt{64} = 8a^2$.
Suy ra: $d = \dfrac{4a^3\sqrt{3}}{8a^2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D
AC cắt (SBC) tại C , O là trung điểm AC =>khoảng cách
* Trong (ABCD) dựng OH ⊥ BC, trong (SOH) dựng OK ⊥ SH ta chứng minh được OK ⊥ (SBC)
=> khoảng cách d(O,(SBC))= OK.
∆ O B C vuông tại O có OH đường cao
∆ S O H vuông tại O có OK đường cao
Vậy
Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), với \(S A \bot \left(\right. A B C D \left.\right)\) và góc giữa cạnh \(S B\) và mặt đáy bằng \(60^{\circ}\). Yêu cầu: Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\).
Bước 1: Xác định các yếu tố đã cho
Bước 2: Tính chiều cao \(S A\)
\(cos 60^{\circ} = \frac{A B}{S B} = \frac{a}{S B}\)
\(S B = \frac{a}{cos 60^{\circ}} = \frac{a}{0.5} = 2 a\)
\(S B^{2} = S A^{2} + A B^{2} \Rightarrow \left(\right. 2 a \left.\right)^{2} = h^{2} + a^{2}\) \(4 a^{2} = h^{2} + a^{2} \Rightarrow h^{2} = 3 a^{2} \Rightarrow h = a \sqrt{3}\)
Bước 3: Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\)
- Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) là khoảng cách vuông góc từ \(A\) đến mặt phẳng này.
- Ta sẽ tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{\mid \overset{\rightarrow}{n} \cdot \overset{\rightarrow}{A A^{'}} \mid}{\mid \overset{\rightarrow}{n} \mid}\)trong đó \(\overset{\rightarrow}{n}\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\), \(A^{'}\) là điểm bất kỳ trên mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\).
Xác định tọa độ các điểm (giả sử hệ trục tọa độ):
\(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , B \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right) , D \left(\right. 0 , a , 0 \left.\right)\)
\(S \left(\right. 0 , 0 , h \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 , a \sqrt{3} \left.\right)\)
Tính véc tơ pháp tuyến \(\overset{\rightarrow}{n}\) của mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\):
Điểm \(C\) là đỉnh còn lại của hình vuông đáy:
\(C = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\)Vậy:
\(\overset{\rightarrow}{S C} = \left(\right. a , a , - a \sqrt{3} \left.\right)\)- Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) là tích có hướng:
\(\overset{\rightarrow}{n} = \overset{\rightarrow}{S B} \times \overset{\rightarrow}{S C}\)Tính tích có hướng:
\(\overset{\rightarrow}{n} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & - a \sqrt{3} \\ a & a & - a \sqrt{3} \mid = \mathbf{i} \cdot \mid 0 & - a \sqrt{3} \\ a & - a \sqrt{3} \mid - \mathbf{j} \cdot \mid a & - a \sqrt{3} \\ a & - a \sqrt{3} \mid + \mathbf{k} \cdot \mid a & 0 \\ a & a \mid\)Tính từng phần tử:
Vậy:
\(\overset{\rightarrow}{n} = \left(\right. a^{2} \sqrt{3} , 0 , a^{2} \left.\right)\)Tính khoảng cách từ \(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) có dạng:
\(\overset{\rightarrow}{n} \cdot \overset{\rightarrow}{r} + D = 0\)Với \(\overset{\rightarrow}{r} = \left(\right. x , y , z \left.\right)\), ta thay điểm \(S \left(\right. 0 , 0 , a \sqrt{3} \left.\right)\) vào để tìm \(D\):
\(a^{2} \sqrt{3} \cdot 0 + 0 \cdot 0 + a^{2} \cdot a \sqrt{3} + D = 0 \Rightarrow a^{3} \sqrt{3} + D = 0 \Rightarrow D = - a^{3} \sqrt{3}\)Phương trình mặt phẳng:
\(a^{2} \sqrt{3} x + 0 \cdot y + a^{2} z - a^{3} \sqrt{3} = 0\)Khoảng cách từ \(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\) đến mặt phẳng là:
\(d = \frac{\mid a^{2} \sqrt{3} \cdot 0 + 0 + a^{2} \cdot 0 - a^{3} \sqrt{3} \mid}{\sqrt{\left(\right. a^{2} \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 0 + \left(\right. a^{2} \left.\right)^{2}}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{\sqrt{3 a^{4} + a^{4}}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{\sqrt{4 a^{4}}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{a^{2} \cdot 2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}\)Kết luận:
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) là:
\(\boxed{\frac{a \sqrt{3}}{2}}\)Nếu bạn cần mình giải thích thêm hoặc hỗ trợ bài toán khác, cứ hỏi nhé!