Dưới đây là lời giải và hướng dẫn tìm vị trí điểm M trên đường chéo AC của hình vuông ABCD sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất:

Bài toán:

• Hình vuông ABCD có diện tích 2025, suy ra cạnh \(A B = a = \sqrt{2025} = 45\).
• Điểm M thay đổi trên đường chéo AC.
• Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AB, BC.
• Tìm vị trí của M trên AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất.

Phân tích và hướng giải:

1. Xác định tọa độ các điểm:
   Giả sử hình vuông ABCD có:
   Đường chéo AC đi từ A(0,0) đến C(45,45).
2. • A(0,0), B(45,0), C(45,45), D(0,45)
3. Điểm M trên AC:
   Vì M nằm trên AC nên tọa độ M có dạng:
   \(M \left(\right. t , t \left.\right) , t \in\)
4. Tìm tọa độ E và F:
5. • E là chân đường vuông góc từ M đến AB (đường thẳng y=0):
     Vì AB nằm trên trục Ox (y=0), nên E có hoành độ bằng hoành độ của M, tung độ bằng 0:
     \(E = \left(\right. t , 0 \left.\right)\)
   • F là chân đường vuông góc từ M đến BC (đường thẳng x=45):
     Vì BC nằm trên đường thẳng x=45, nên F có tung độ bằng tung độ của M, hoành độ bằng 45:
     \(F = \left(\right. 45 , t \left.\right)\)
6. Tính diện tích tam giác DEF:
   Các điểm:
   Diện tích tam giác DEF được tính bằng công thức diện tích tam giác theo tọa độ:
   \(S = \frac{1}{2} \mid x_{D} \left(\right. y_{E} - y_{F} \left.\right) + x_{E} \left(\right. y_{F} - y_{D} \left.\right) + x_{F} \left(\right. y_{D} - y_{E} \left.\right) \mid\)
   Thay số vào:
   \(S = \frac{1}{2} \mid 0 \times \left(\right. 0 - t \left.\right) + t \times \left(\right. t - 45 \left.\right) + 45 \times \left(\right. 45 - 0 \left.\right) \mid\) \(= \frac{1}{2} \mid t \left(\right. t - 45 \left.\right) + 45 \times 45 \mid\) \(= \frac{1}{2} \mid t^{2} - 45 t + 2025 \mid\)
7. • D(0,45)
   • E(t,0)
   • F(45,t)
8. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\):
   Vì \(t \in\), ta xét hàm:
   \(f \left(\right. t \left.\right) = t^{2} - 45 t + 2025\)
   Hàm bậc hai mở lên, có cực tiểu tại:
   \(t_{0} = \frac{45}{2} = 22.5\)
   Giá trị nhỏ nhất:
   \(f \left(\right. t_{0} \left.\right) = \left(\right. 22.5 \left.\right)^{2} - 45 \times 22.5 + 2025 = 506.25 - 1012.5 + 2025 = 1518.75\)
   Diện tích nhỏ nhất:
   Smin⁡=12×1518.75=759.375S_{\min} = \frac{1}{2} \times 1518.75 = 759.375Smin=21×1518.75=759.375

Kết luận:

• Điểm M có tọa độ \(\left(\right. 22.5 , 22.5 \left.\right)\) trên đường chéo AC của hình vuông.
• Khi đó, diện tích tam giác DEF đạt giá trị nhỏ nhất là \(759.375\).

Nếu bạn muốn mình giải thích chi tiết hơn hoặc vẽ hình minh họa, hãy cho mình biết nhé!