????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

?????

\(8x^2-8x+m^2+1=0\) ( 1 )

\(\Delta'=16-8\left(m^2+1\right)=16-8m^2-8=8-8m^2\)

PT ( 1 ) có hai nghiệm x₁,x₂ \(\Leftrightarrow\Delta'=8-8m^2\ge0\)\(\Leftrightarrow m^2\le1\Leftrightarrow-1\le m\le1\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có : 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1x_2=\frac{m^2+1}{8}\end{cases}}\)

Do đó : \(x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3\)

\(\Leftrightarrow x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)

\(\Leftrightarrow x_1^3\left(x_1-1\right)-x_2^3\left(x_2-1\right)=0\Leftrightarrow-x_1^3x_2+x_2^3x_1=0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1^2-x_2^2\right)=0\Leftrightarrow x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=0\)

Dễ thấy \(x_1x_2=\frac{m^2+1}{8}>0;x_1+x_2=1>0\)nên \(x_1-x_2=0\Leftrightarrow x_1=x_2\)

Từ đó tìm được \(m=\pm1\)

a) Phương trình \(x^2-2mx-2m-1=0\)có các hệ số a = 1; b = - 2m; c = - 2m - 1

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(-2m-1\right)=4m^2+8m+4=4\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x₁, x₂ với mọi m (đpcm)

b) Theo Viète, ta có: \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=-2m-1\)

Hệ thức \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\Leftrightarrow2\left(x_1^2+x_2^2\right)=-5x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]=-5x_1x_2\)hay \(2\left(4m^2+4m+2\right)=10m+5\Leftrightarrow8m^2-2m-1=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{1}{2}\\m=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

Vậy \(m=\frac{1}{2}\)hoặc \(m=-\frac{1}{4}\)thì phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn\(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{-5}{2}\)

\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)

\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm

\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)

a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)

\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)

với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề

a) \(x_1^2+x_2^2=23\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=23\)

\(\Leftrightarrow5^2-2\left(m+4\right)=23\)

<=> m=-3

b) \(x_1^3+x_2^3=35\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=35\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=35\)

\(\Leftrightarrow5\left[5^2-3\left(m+4\right)\right]=35\)

<=> m=2

c) \(\left|x_2-x_1\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x_2-x_1\right|\right)^2=3^2\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_1^2=3^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)

<=> m=0

ĐK để pt có hai nghiệm phân biệt là: \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m+4\right)>0\Leftrightarrow m< \frac{9}{4}\) ( @@) 

Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình 

Theo định lí Viet ta có: \(x_1+x_2=5;x_1.x_2=m+4\)

a) \(x_1^2+x_2^2=23\)

<=> \(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=23+2x_1x_2\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2=23+2x_1x_2\)

=> \(25=23+2\left(m+4\right)\)

<=>m = -3 ( thỏa mãn @@) 

b) \(x_1^3+x_2^3=35\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1+x_2\right)x_1x_2=35\)

=> \(5^3-3.5.\left(m+4\right)=35\)

<=> m = 2 ( thỏa mãn @@) 

c) \(\left|x_2-x_1\right|=3\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)^2=9\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)

=> \(5^2-4\left(m+4\right)=9\)

<=> m = 0 ( thỏa mãn @@)