Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ đề bài ta có A= 3n+1 (32 + 1) + 2n+1 (2 +1) = 3n .3.2.5 + 2n .2.3
=> ĐPCM;
A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6
Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì
3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10
Giải
3^n + 2 – 2^n + 2 + 3^n – 2^n
= 3^n+2 + 3^n – 2^n + 2 - 2^n
= 3^n+2 + 3^n – ( 2^n + 2 + 2^n )
= 3^n . 3^2 + 3^n – ( 2^n . 2^2 + 2^n )
= 3^n . ( 3^2 + 1 ) – 2^n . ( 2^2 + 1 )
= 3^n . 10 – 2^n . 5
= 3^n.10 – 2^n -1.10
= 10.( 3^n – 2^n-1)
Vậy 3^n+2 – 2^n +2 + 3^n – 2^n chia hết cho 10
\(=n\left(2n^2+3n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
(Đặt thừa số chung nhẩm nghiệm đa thức bậc 2 có 1 nghiệm là -1, thực hiện phép chia đa thức bậc 2 cho n+1)
\(=n\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)+\left(n-1\right)\right]=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Ta nhận thấy n(n+1)(n+2) và (n-1)n(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Mà trong 3 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có ít nhất 1 số chẵn => hai tích trên chia hết cho 2 => Tổng 2 tích trên chia hết cho 2 nên đa thức đã cho chia hết cho 2
Chứng minh bài toán phụ 3 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3:
Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a; a+1; a+2
+ Nếu a chia hết cho 3 thì bài toán đúng
+ Nếu a chia 3 dư 1 thì a=3k+1 => a+2 = 3k+1+2=3k+3 chia hết cho 3
+ Nếu a chia 3 dư 2 thì a=3k+2 => a+1=3k+2+1=3k+3 chia hết cho 3
=> 3 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3
Áp dụng vào bài toán thì 2 tích trên chia hết cho 3 => tổng 2 tích chia hết cho 3 nên đa thức đã cho chia hết cho 3
Đa thức đã cho đồng thời chia hết cho cả 2 và 3 nên chia hết cho 2.3=6
xin lỗi nha, bạn giải hình như là cách lớp lớn, mình chẳng hiểu gì hết. Sorry nhưng mình không chọn bạn được, xin lỗi nha!!!
Mình nghĩ đề là 33n+1
33n+2+5.33n+1
33n.32+5.33n.2
33n.9+33n.10
=>33n.19\(⋮\)19
Chúng ta cần chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\), biểu thức
\(P \left(\right. n \left.\right) = 2 n^{4} + 4 n^{3} + 3 n^{2} + n + 8\)không chia hết cho 27, tức là \(P \left(\right. n \left.\right) ≢ 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\) với mọi \(n \in \mathbb{Z}\).
Phương pháp chứng minh: Sử dụng phép toán dư (mod 27)
Ta sẽ xét giá trị của \(P \left(\right. n \left.\right)\) theo các giá trị \(n \left(\right. m o d 27 \left.\right)\).
Do \(n\) là số nguyên, ta chỉ cần xét \(n = 0 , 1 , 2 , \ldots , 26\) (các lớp dư modulo 27).
Nếu với mọi \(n \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 26 \left.\right}\), \(P \left(\right. n \left.\right) ≢ 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\), thì với mọi số nguyên \(n\), \(P \left(\right. n \left.\right)\) không chia hết cho 27.
Bước 1: Tính \(P \left(\right. n \left.\right) \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
Để giảm bớt tính toán, ta thử xét \(P \left(\right. n \left.\right) \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
Ta có:
\(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 2 n^{4} + n^{3} + 0 + n + 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)Xét các trường hợp \(n \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
- Nếu \(n \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
\(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 2 \neq 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)- Nếu \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
\(n^{4} \equiv 1 , n^{3} \equiv 1 , n \equiv 1\) \(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 2 \times 1 + 1 + 1 + 2 = 2 + 1 + 1 + 2 = 6 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)- Nếu \(n \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):
\(n^{4} = \left(\right. 2 \left.\right)^{4} = 16 \equiv 1 , n^{3} = 8 \equiv 2 , n = 2\) \(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 2 \times 1 + 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)Kết luận:
Vậy \(P \left(\right. n \left.\right)\) chỉ có thể chia hết cho 3 khi \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\).
Bước 2: Xét \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) và kiểm tra modulo 9
Giả sử \(n = 3 k + 1\), ta xét \(P \left(\right. n \left.\right) \left(\right. m o d 9 \left.\right)\).
Tính từng phần:
Thay vào biểu thức:
\(P \left(\right. n \left.\right) = 2 n^{4} + 4 n^{3} + 3 n^{2} + n + 8\)tính modulo 9:
\(2 n^{4} \equiv 2 \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) = 6 k + 2\) \(4 n^{3} \equiv 4 \times 1 = 4\) \(3 n^{2} \equiv 3 \left(\right. 6 k + 1 \left.\right) = 18 k + 3 \equiv 0 + 3 = 3\) \(n = 3 k + 1\) \(8 \equiv 8\)Cộng lại:
\(P \left(\right. n \left.\right) \equiv \left(\right. 6 k + 2 \left.\right) + 4 + 3 + \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) + 8 = 6 k + 2 + 4 + 3 + 3 k + 1 + 8 = 9 k + 18 = 9 k + 0 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)Vậy:
\(P \left(\right. n \left.\right) \equiv 0 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)Bước 3: Kết hợp modulo 3 và modulo 9
Bước 4: Kiểm tra \(P \left(\right. n \left.\right) \left(\right. m o d 27 \left.\right)\) với \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
Ta thử một vài giá trị \(n = 1 , 4 , 7 , 10\) (tất cả đều \(\equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)):
- \(n = 1\):
\(P \left(\right. 1 \left.\right) = 2 + 4 + 3 + 1 + 8 = 18\)\(18 ≢ 0 \left(\right. m o d 27 \left.\right)\) (vì 18 mod 27 = 18)
- \(n = 4\):
\(n^{2} = 16 , n^{3} = 64 , n^{4} = 256\) \(P \left(\right. 4 \left.\right) = 2 \times 256 + 4 \times 64 + 3 \times 16 + 4 + 8 = 512 + 256 + 48 + 4 + 8 = 828\)\(828 m o d \textrm{ } \textrm{ } 27 = 828 - 27 \times 30 = 828 - 810 = 18 \neq 0\)
- \(n = 7\):
\(n^{2} = 49 , n^{3} = 343 , n^{4} = 2401\) \(P \left(\right. 7 \left.\right) = 2 \times 2401 + 4 \times 343 + 3 \times 49 + 7 + 8 = 4802 + 1372 + 147 + 7 + 8 = 6336\)\(6336 m o d \textrm{ } \textrm{ } 27 = 6336 - 27 \times 234 = 6336 - 6318 = 18 \neq 0\)
Kết luận:
Với mọi \(n\), \(P \left(\right. n \left.\right) m o d \textrm{ } \textrm{ } 27\) luôn bằng 18 hoặc một giá trị khác 0, tức là \(P \left(\right. n \left.\right)\) không chia hết cho 27.
Kết luận cuối cùng:
\(\boxed{\text{V}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp}; n , 27 \not| P \left(\right. n \left.\right) = 2 n^{4} + 4 n^{3} + 3 n^{2} + n + 8}\)Nếu bạn cần mình giải thích thêm hoặc hỗ trợ các bài toán tương tự, hãy cho mình biết nhé!