Câu hỏi của Nguyễn Quỳnh Anh

Question

cho hình chóp s abcd có đáy abcd là hình thoi tâm o cạnh a abc=60.hai mặt phẳng sab và sad đều vuông góc với đáy. sa bằng 4a. Tìm khoảng cách từ SA den cd

Gia Bao · Accepted Answer

Bài toán: Tìm khoảng cách từ đường thẳng SA đến đường thẳng CD trong hình chóp S.ABCD

Đề bài tóm tắt:

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng $a$.
Góc giữa hai cạnh của hình thoi là $\angle A B C = 60^{\circ}$.
Hai mặt phẳng SAB và SAD đều vuông góc với đáy.
Đoạn SA có độ dài $S A = 4 a$.
Yêu cầu: Tìm khoảng cách từ đường thẳng SA đến đường thẳng CD.

Phân tích và hướng giải:

Xác định hình học và tọa độ:

Đáy ABCD là hình thoi cạnh $a$, góc $60^{\circ}$.
Vì đáy là hình thoi, ta có thể đặt hệ tọa độ Oxy trên mặt phẳng đáy sao cho:
- $A = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$
- $B = \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)$
- $D = \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$ (vì góc 60° tại B)
- $C = B + \overset{\rightarrow}{A D} = \left(\right. a + \frac{a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$

Xác định vị trí điểm S:

Hai mặt phẳng SAB và SAD vuông góc với đáy, tức là mặt phẳng chứa SA và AB (hoặc AD) vuông góc với đáy.
SA tạo với đáy góc 90° (vì mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, SA nằm trong mặt phẳng đó).
Độ dài $S A = 4 a$.

Vì vậy, ta có thể đặt:

$S = \left(\right. 0 , 0 , h \left.\right)$ với $h = 4 a$ (điểm S nằm trên trục Oz vuông góc với đáy tại A).

Xác định các véc-tơ:

Đường thẳng SA đi qua $A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$ và $S \left(\right. 0 , 0 , 4 a \left.\right)$.
Đường thẳng CD đi qua $C \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$ và $D \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$.

Tính véc-tơ chỉ phương:

Véc-tơ chỉ phương của SA:
$\overset{⃗}{u} = \overset{\rightarrow}{A S} = \left(\right. 0 , 0 , 4 a \left.\right)$
Véc-tơ chỉ phương của CD:
$\overset{⃗}{v} = \overset{\rightarrow}{C D} = \left(\right. \frac{a}{2} - \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} - \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 - 0 \left.\right) = \left(\right. - a , 0 , 0 \left.\right)$

Tính véc-tơ nối một điểm trên SA đến một điểm trên CD:

Chọn điểm A trên SA và điểm C trên CD:
$\overset{⃗}{w} = \overset{\rightarrow}{A C} = \left(\right. \frac{3 a}{2} - 0 , \frac{a \sqrt{3}}{2} - 0 , 0 - 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Công thức khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng chéo nhau:

$d = \frac{\mid \left(\right. \overset{⃗}{w} \cdot \left(\right. \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \left.\right) \left.\right) \mid}{\mid \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \mid}$

Tính tích có hướng $\overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v}$:

$\overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 0 & 4 a \ - a & 0 & 0 \mid = \mathbf{i} \left(\right. 0 \times 0 - 4 a \times 0 \left.\right) - \mathbf{j} \left(\right. 0 \times 0 - 4 a \times \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) + \mathbf{k} \left(\right. 0 \times 0 - 0 \times \left(\right. - a \left.\right) \left.\right)$ $= \mathbf{i} \left(\right. 0 \left.\right) - \mathbf{j} \left(\right. 0 + 4 a^{2} \left.\right) + \mathbf{k} \left(\right. 0 \left.\right) = \left(\right. 0 , - 4 a^{2} , 0 \left.\right)$

Tính tích vô hướng $\overset{⃗}{w} \cdot \left(\right. \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \left.\right)$:

$\overset{⃗}{w} \cdot \left(\right. \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \left.\right) = \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right) \cdot \left(\right. 0 , - 4 a^{2} , 0 \left.\right) = 0 \times \frac{3 a}{2} + \left(\right. - 4 a^{2} \left.\right) \times \frac{a \sqrt{3}}{2} + 0 = - 2 a^{3} \sqrt{3}$

Tính độ lớn $\mid \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \mid$:

$\mid \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \mid = \sqrt{0^{2} + \left(\right. - 4 a^{2} \left.\right)^{2} + 0^{2}} = 4 a^{2}$

Tính khoảng cách:

$d = \frac{\mid - 2 a^{3} \sqrt{3} \mid}{4 a^{2}} = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{4 a^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Kết luận:

Khoảng cách từ đường thẳng SA đến đường thẳng CD là:

$\boxed{\frac{a \sqrt{3}}{2}}$

Nếu bạn cần thêm giải thích hoặc bài toán khác, hãy cho tôi biết nhé!

Câu trả lời:

Bài toán: Tìm khoảng cách từ đường thẳng SA đến đường thẳng CD trong hình chóp S.ABCD

Đề bài tóm tắt:

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng $a$.
Góc giữa hai cạnh của hình thoi là $\angle A B C = 60^{\circ}$.
Hai mặt phẳng SAB và SAD đều vuông góc với đáy.
Đoạn SA có độ dài $S A = 4 a$.
Yêu cầu: Tìm khoảng cách từ đường thẳng SA đến đường thẳng CD.

Phân tích và hướng giải:

Xác định hình học và tọa độ:

Đáy ABCD là hình thoi cạnh $a$, góc $60^{\circ}$.
Vì đáy là hình thoi, ta có thể đặt hệ tọa độ Oxy trên mặt phẳng đáy sao cho:
- $A = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$
- $B = \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)$
- $D = \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$ (vì góc 60° tại B)
- $C = B + \overset{\rightarrow}{A D} = \left(\right. a + \frac{a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$

Xác định vị trí điểm S:

Hai mặt phẳng SAB và SAD vuông góc với đáy, tức là mặt phẳng chứa SA và AB (hoặc AD) vuông góc với đáy.
SA tạo với đáy góc 90° (vì mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, SA nằm trong mặt phẳng đó).
Độ dài $S A = 4 a$.

Vì vậy, ta có thể đặt:

$S = \left(\right. 0 , 0 , h \left.\right)$ với $h = 4 a$ (điểm S nằm trên trục Oz vuông góc với đáy tại A).

Xác định các véc-tơ:

Đường thẳng SA đi qua $A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)$ và $S \left(\right. 0 , 0 , 4 a \left.\right)$.
Đường thẳng CD đi qua $C \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$ và $D \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$.

Tính véc-tơ chỉ phương:

Véc-tơ chỉ phương của SA:
$\overset{⃗}{u} = \overset{\rightarrow}{A S} = \left(\right. 0 , 0 , 4 a \left.\right)$
Véc-tơ chỉ phương của CD:
$\overset{⃗}{v} = \overset{\rightarrow}{C D} = \left(\right. \frac{a}{2} - \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} - \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 - 0 \left.\right) = \left(\right. - a , 0 , 0 \left.\right)$

Tính véc-tơ nối một điểm trên SA đến một điểm trên CD:

Chọn điểm A trên SA và điểm C trên CD:
$\overset{⃗}{w} = \overset{\rightarrow}{A C} = \left(\right. \frac{3 a}{2} - 0 , \frac{a \sqrt{3}}{2} - 0 , 0 - 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Công thức khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng chéo nhau:

$d = \frac{\mid \left(\right. \overset{⃗}{w} \cdot \left(\right. \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \left.\right) \left.\right) \mid}{\mid \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \mid}$

Tính tích có hướng $\overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v}$:

$\overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & 0 & 4 a \ - a & 0 & 0 \mid = \mathbf{i} \left(\right. 0 \times 0 - 4 a \times 0 \left.\right) - \mathbf{j} \left(\right. 0 \times 0 - 4 a \times \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) + \mathbf{k} \left(\right. 0 \times 0 - 0 \times \left(\right. - a \left.\right) \left.\right)$ $= \mathbf{i} \left(\right. 0 \left.\right) - \mathbf{j} \left(\right. 0 + 4 a^{2} \left.\right) + \mathbf{k} \left(\right. 0 \left.\right) = \left(\right. 0 , - 4 a^{2} , 0 \left.\right)$

Tính tích vô hướng $\overset{⃗}{w} \cdot \left(\right. \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \left.\right)$:

$\overset{⃗}{w} \cdot \left(\right. \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \left.\right) = \left(\right. \frac{3 a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} , 0 \left.\right) \cdot \left(\right. 0 , - 4 a^{2} , 0 \left.\right) = 0 \times \frac{3 a}{2} + \left(\right. - 4 a^{2} \left.\right) \times \frac{a \sqrt{3}}{2} + 0 = - 2 a^{3} \sqrt{3}$

Tính độ lớn $\mid \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \mid$:

$\mid \overset{⃗}{u} \times \overset{⃗}{v} \mid = \sqrt{0^{2} + \left(\right. - 4 a^{2} \left.\right)^{2} + 0^{2}} = 4 a^{2}$

Tính khoảng cách:

$d = \frac{\mid - 2 a^{3} \sqrt{3} \mid}{4 a^{2}} = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{4 a^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Kết luận:

Khoảng cách từ đường thẳng SA đến đường thẳng CD là:

$\boxed{\frac{a \sqrt{3}}{2}}$

Nếu bạn cần thêm giải thích hoặc bài toán khác, hãy cho tôi biết nhé!

Bài toán: Tìm khoảng cách từ đường thẳng SA đến đường thẳng CD trong hình chóp S.ABCD

Đề bài tóm tắt:

Phân tích và hướng giải:

Kết luận:

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bài toán: Tìm khoảng cách từ đường thẳng SA đến đường thẳng CD trong hình chóp S.ABCD

Đề bài tóm tắt:

Phân tích và hướng giải:

Kết luận:

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP