Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta xét hai trường hợp
Nếu n chia hết cho 2 \(\Rightarrow n=2k\left(k\in n\right)\)
\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n+6\right)=\left(2k+3\right)\left(2k+6\right)\)
\(=2k.2k+2k.6+3.2k+3.6\)
\(=2k^2+2k.6+2k.3+2.9\)
\(=2\left(k^2+6k+3k+9\right)⋮2\)
Nếu n chia cho 2 dư 1 \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(\Rightarrow\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+6\right)=\left(2k+4\right)\left(2k+7\right)\)
\(=2k.2k+2k.7+2k.4+4.7\)
\(=2k^2+2k.7+2k.4+2.14=2\left(k^2+7k+4k+14\right)⋮2\)
Vậy \(\left(n+3\right)\left(n+6\right)⋮2\left(n\in N\right)\)
Xét ta có 2 trường hợp :
TH1 : Với k là số chẵn ( 2k với k thuộc N ) ta có :
2k .( 2k+5)
= 4 . k2 + 10 . k
= 2.(2 . k2 + 5k ) [ chia hết cho 2 ]
TH2 : Với k là số lẻ ( 2k + 1 với k thuộc N ) ta có :
( 2k + 1 ) . ( 2k + 1 + 5 )
= 2k . ( 2k + 6 ) + 2k + 6
= 4 k2 + 12k + 2k + 6
= 2 . ( 2 k2 + 6k + k + 3 ) [ chia hết cho 2 ]
1.
Trường hợp 1:
Nếu n=2k
Thì n.(n+5)=2k.(2k+5)
Vì 2k chia hết cho 2 nên tích n.(n+1) chia hết cho 2
Trường hợp 2:
Nếu n=2k+1
Thì n.(n+1)=2k+1(2k+1+1)
=>(2k+1)(2k+2)
Vì 2k+2 chia hết cho 2 nên tích n(n+1) chia hết cho 2
2.
\(n^2+n+1\)
\(n^2+n=n.n+n.1=n.\left(n+1\right)\)
\(\text{Vì :}n.\left(n+1\right)\text{là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên có tận cùng là : 2,6,0}\)
\(\text{Vậy}.n\left(n+1\right)+1\text{sẽ có tận cùng là 3,7,1}\)
Vì tận cùng là 3,7,1 nên A không chia hết cho 2, không chia hết cho 5 (đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
1. TH1 : n là số chẵn.
\(\Rightarrow n⋮2\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)
TH2 : n là số lẻ
\(\Rightarrow\left(n+5\right)⋮2\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)
Từ đó \(\Rightarrow n\left(n+5\right)⋮2\)với mọi \(n\in N\)
2. a) TH1 : Nếu n là số lẻ \(\Rightarrow n^2\)là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+2\right)⋮2\)
1 là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)̸\)không chia hết cho 2 (1)
TH2 : Nếu n là số chẵn \(\Rightarrow n^2\)là số chẵn \(\Rightarrow\left(n^2+2\right)⋮2\)
1 là số lẻ \(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)̸\)không chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A\)không chia hết cho 2 với mọi \(n\in N\)
b)
\(n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)
do n(n+1) là số chẵn nên n(n+1)+1 là số lẻ nên không chia hết cho 4
Đặt \(A=\left(n+2012^{2013}\right)+\left(n+2013^{2012}\right)\)
\(A=2n+\left(2012^4\right)^{503}.2012+\left(2013^4\right)^{503}\)
\(A=2n+\left(...6\right)+\left(...1\right)\)
Ta có : 2n là số chẵn
\(2012^{2013}\) là số chẵn
\(2013^{2012}\) là số lẻ
\(=>A=2n+2012^{2013}+2013^{2012}\) là số lẻ
Vì A là số lẻ => \(\left(n+2013^{2012}\right);\left(n+2012^{2013}\right)\) sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ
=> \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) là số chẵn nên chia hết cho 2 ( đpcm )
a) Ta xét các trường hợp:
+) Với n = 3k \(\left(k\in Z\right)\), ta có \(\left(n-1\right)\left(n+2\right)+12=\left(3k-1\right)\left(3k+2\right)+12\)
Ta thấy (3k - 1)(3k + 2) không chia hết cho 3, 12 chia hết cho 3 nên (3k - 1)(3k + 2) + 12 không chia hết cho 3 hay (3k - 1)(3k + 2) + 12 không chia hết cho 9.
+) Với n = 3k + 1 \(\left(k\in Z\right)\), ta có \(\left(n-1\right)\left(n+2\right)+12=3k\left(3k+3\right)+12=9k\left(k+1\right)+12\)
Ta thấy \(9k\left(k+1\right)⋮9;12⋮̸9\Rightarrow9k\left(k+1\right)+12⋮̸9\)
+) Với n = 3k + 2 \(\left(k\in Z\right)\), ta có: \(\left(n-1\right)\left(n+2\right)+12=\left(3k+1\right)\left(3k+4\right)+12\)
Ta thấy (3k + 1)(3k + 4) không chia hết cho 3, 12 chia hết cho 3 nên (3k + 1)(3k + 4) + 12 không chia hết cho 3 hay (3k + 1)(3k + 4) + 12 không chia hết cho 9.
b) Tương tự bài trên.
a) Với mọi n là số lẻ hoặc số chẵn thì \(A=\left(n+6\right)\left(n+7\right)\) luôn luôn là số chẵn . Do đó \(A⋮2\)với mọi \(n\in Z\)
b) \(B=n\left(n+1\right)+3\)
Vì \(n\left(n+1\right)\)là tích của hai số nguyên liên tiếp nên là số chẵn , do đó \(n\left(n+1\right)⋮2\), nhưng 3 không chia hết cho 2
\(\Rightarrow\)B không chia hết cho 2 với mọi \(n\in Z\)
Nếu n là số chẵn thì (n + 6) chia hết cho 2
=> (n + 6)(n + 7) chia hết cho 2
Nếu n là số lẻ thì (n + 7) chia hết cho 2
=> (n + 6)(n + 7) chia hết cho 2
Vậy với mọi n nguye thì (n + 6)(n + 7) đều chia hết cho 2
n^3-n +2=n^2.n-n+2=n(n^2-1)+2=n(n+1)(n-1)+2
Vì n;n+1;n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp => có ít nhất 1 số trong 3 số trên chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3
=> n(n+1)(n-1) chia hết cho 2 và 3 mà ƯCLN(2;3)=1
=> n(n+1)(n-1) chia hết cho 6 ( chia hết cho 2.3)
mà 2 không chia hết cho 6 => n(n+1)(n-1)+2 không chia hết cho 6
Vậy: với mọi số tự nhiên n thì n^3-n+2 không chia hết cho 6(đpcm)
ỦNG HỘ MIK NHÉ !
a) tổng S bằng
(2014+4).671:2=677 039
b)n.(n+2013) để mọi số tự nhiên n mà tổng trên chia hét cho 2 thì n=2n
→2n.(n+2013)\(⋮̸\)2
C)M=2+22+23+...+220
=(2+22+23+24)+...+(217+218+219+220)
=(2+22+23+24)+...+(216.2+216.22+216+23+216.24)
=30.1+...+216.(2+22+23+24)
=30.1+...+216.30
=30(1+25+29+213+216)\(⋮\)5
c, M= 2 + 22 + 23 +........220
Nhận xét: 2+ 22 + 23 + 24 = 30; 30 chia hết cho 5
Khi đó: M = ( 2+22 + 23 + 24 ) + (25 + 26 + 27 + 28)+.....+ (217+218+219+220)
= ( 2+22 + 23 + 24 ) + 24. ( 2+22 + 23 + 24 ) +...........+216 .( 2+22 + 23 + 24 )
= 30+24 .30 + 28. 30 +.........+ 216.30
= 30.(24 + 28 +.........+216) chia hết cho 5 và 30 chia hết cho 5
Vậy M chia hết cho 5
Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\), biểu thức
\(A = n \left(\right. n - 4 \left.\right) + 7 n + 5\)
không chia hết cho 121.
Bước 1: Viết lại biểu thức
Ta có:
\(A = n \left(\right. n - 4 \left.\right) + 7 n + 5 = n^{2} - 4 n + 7 n + 5 = n^{2} + 3 n + 5\)
Vậy:
\(A = n^{2} + 3 n + 5\)
Bước 2: Giả sử ngược lại
Giả sử tồn tại số tự nhiên \(n_{0}\) sao cho \(A\) chia hết cho 121, tức là:
\(121 \mid n_{0}^{2} + 3 n_{0} + 5\)
hay
\(n_{0}^{2} + 3 n_{0} + 5 \equiv 0 \left(\right. m o d 121 \left.\right)\)
Bước 3: Xét theo modulo 11
Do \(121 = 11^{2}\), ta sẽ xét điều kiện modulo 11 trước.
Ta có:
\(n_{0}^{2} + 3 n_{0} + 5 \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Bước 4: Giải phương trình modulo 11
Xét \(n^{2} + 3 n + 5 \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\).
Ta tính nghiệm của:
\(n^{2} + 3 n + 5 \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Hoặc viết lại:
\(n^{2} + 3 n \equiv - 5 \equiv 6 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Để giải ta dùng công thức nghiệm:
\(n = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} \left(\right. m o d 11 \left.\right)\) \(\Delta = 3^{2} - 4 \cdot 5 = 9 - 20 = - 11 \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Vậy \(\Delta \equiv 0 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\).
Khi \(\Delta \equiv 0\), phương trình có nghiệm kép:
\(n \equiv \frac{- 3}{2} \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Tính \(2^{- 1} \left(\right. m o d 11 \left.\right)\):
Ta tìm số \(x\) sao cho \(2 x \equiv 1 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\). Thử \(x = 6\), vì \(2 \times 6 = 12 \equiv 1 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\).
Vậy:
\(n \equiv - 3 \times 6 = - 18 \equiv 4 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\)
Vậy nghiệm duy nhất modulo 11 là \(n \equiv 4 \left(\right. m o d 11 \left.\right)\).
Bước 5: Kiểm tra điều kiện modulo \(11^{2} = 121\)
Giả sử \(n = 4 + 11 k\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Ta thay vào biểu thức \(A\):
\(A = \left(\right. 4 + 11 k \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. 4 + 11 k \left.\right) + 5\) \(= \left(\right. 16 + 88 k + 121 k^{2} \left.\right) + \left(\right. 12 + 33 k \left.\right) + 5\) \(= 16 + 88 k + 121 k^{2} + 12 + 33 k + 5 = 33 + 121 k^{2} + 121 k\) \(= 33 + 121 \left(\right. k^{2} + k \left.\right)\)
Lấy modulo 121, ta có:
\(A \equiv 33 \left(\right. m o d 121 \left.\right)\)
Kết luận:
\(A \equiv 33 ≢ 0 \left(\right. m o d 121 \left.\right)\)
Vậy, với mọi \(n\), \(A = n^{2} + 3 n + 5\) không chia hết cho 121.
Nếu cần, mình có thể giải thích thêm nhé!