Phân tích:

• Tam giác ABC vuông tại A, với AB = AC = a → ABC là tam giác vuông cân tại A.
• H là trung điểm BC, hình chiếu của S xuống (ABC).
• I là trung điểm SC.
• Góc nhị diện giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABC) là 60°.

Mục tiêu: Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB).

Phương pháp:

• Xác định tọa độ các điểm để dễ tính toán (ví dụ, đặt A tại gốc tọa độ, AB trên trục Ox, AC trên Oy).
• Xác định tọa độ điểm S từ dữ kiện H là trung điểm BC và S có hình chiếu là H.
• Tính véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng (SAB).
• Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB) bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Ok! Mình sẽ giải chi tiết từng bài bạn hỏi, bắt đầu từ bài Toán lớp 11 (hình chóp), rồi đến các bài còn lại nhé.

1. Toán lớp 11: Hình chóp S.ABC (Tam giác ABC vuông tại A, AB=AC=a, I trung điểm SC, H trung điểm BC, góc nhị diện giữa (SAB) và (ABC) bằng 60°). Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB).

Bước 1: Đặt hệ tọa độ cho dễ tính

• Đặt điểm A tại gốc tọa độ O(0,0,0)
• Đặt AB trên trục Ox: B(a,0,0)
• Đặt AC trên trục Oy: C(0,a,0)
• Vì ABC vuông tại A nên mặt phẳng (ABC) nằm trên mặt phẳng z=0

Bước 2: Tìm tọa độ điểm H

• H là trung điểm BC
• B(a,0,0), C(0,a,0)
• H = trung điểm BC = \(\left(\right. \frac{a + 0}{2} , \frac{0 + a}{2} , 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{a}{2} , 0 \left.\right)\)

Bước 3: Tìm tọa độ điểm S

• H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) (z=0) → S nằm thẳng đứng trên H.
• Gọi \(S = \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{a}{2} , h \left.\right)\) với \(h > 0\).

Bước 4: Tìm h theo góc nhị diện

• Góc nhị diện giữa (SAB) và (ABC) bằng 60°.
• Mặt phẳng (ABC): z=0, vector pháp tuyến \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{A B C} = \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\).
• Mặt phẳng (SAB) đi qua S, A, B.
• • Vector \(\overset{⃗}{A B} = B - A = \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)\).
  • Vector \(\overset{⃗}{A S} = S - A = \left(\right. \frac{a}{2} , \frac{a}{2} , h \left.\right)\).
• Vector pháp tuyến mặt phẳng (SAB):

\(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{S A B} = \overset{⃗}{A B} \times \overset{⃗}{A S} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & h \mid = \left(\right. 0 \times h - 0 \times \frac{a}{2} , 0 \times \frac{a}{2} - a \times h , a \times \frac{a}{2} - 0 \times \frac{a}{2} \left.\right) = \left(\right. 0 , - a h , \frac{a^{2}}{2} \left.\right)\)

Bước 5: Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 vector pháp tuyến

• Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa 2 véc-tơ pháp tuyến.
• \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{A B C} = \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\), \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{S A B} = \left(\right. 0 , - a h , \frac{a^{2}}{2} \left.\right)\)
• Tính cos góc:

\(cos ⁡ \theta = \frac{\mid \left(\overset{⃗}{n}\right)_{A B C} \cdot \left(\overset{⃗}{n}\right)_{S A B} \mid}{\mid \left(\overset{⃗}{n}\right)_{A B C} \mid \mid \left(\overset{⃗}{n}\right)_{S A B} \mid} = \frac{\mid 0 \times 0 + 0 \times \left(\right. - a h \left.\right) + 1 \times \frac{a^{2}}{2} \mid}{1 \times \sqrt{0^{2} + \left(\right. - a h \left.\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{a^{2}}{2} \left.\right)\right)^{2}}} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{\sqrt{a^{2} h^{2} + \frac{a^{4}}{4}}}\)

Bước 6: Thay \(\theta = 60^{\circ}\)

\(cos ⁡ 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{\sqrt{a^{2} h^{2} + \frac{a^{4}}{4}}}\)

• Giải phương trình:

\(\frac{1}{2} = \frac{\frac{a^{2}}{2}}{\sqrt{a^{2} h^{2} + \frac{a^{4}}{4}}} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{a^{2} h^{2} + \frac{a^{4}}{4}} = a^{2}\)

• Bình phương 2 vế:

\(a^{2} h^{2} + \frac{a^{4}}{4} = a^{4} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a^{2} h^{2} = a^{4} - \frac{a^{4}}{4} = \frac{3 a^{4}}{4} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h^{2} = \frac{3 a^{2}}{4} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h = \frac{a \sqrt{3}}{2}\)

Bước 7: Tìm tọa độ điểm I (trung điểm SC)

• C(0,a,0), S\(\left(\right. \frac{a}{2} , \frac{a}{2} , \frac{a \sqrt{3}}{2} \left.\right)\)
• Trung điểm I:

\(I = \left(\right. \frac{0 + \frac{a}{2}}{2} , \frac{a + \frac{a}{2}}{2} , \frac{0 + \frac{a \sqrt{3}}{2}}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{4} , \frac{3 a}{4} , \frac{a \sqrt{3}}{4} \left.\right)\)

Bước 8: Viết phương trình mặt phẳng (SAB)

• Mặt phẳng (SAB) có pháp tuyến \(\left(\overset{⃗}{n}\right)_{S A B} = \left(\right. 0 , - a h , \frac{a^{2}}{2} \left.\right) = \left(\right. 0 , - a \times \frac{a \sqrt{3}}{2} , \frac{a^{2}}{2} \left.\right) = \left(\right. 0 , - \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} , \frac{a^{2}}{2} \left.\right)\).
• Điểm A(0,0,0) thuộc mặt phẳng → phương trình mặt phẳng:

\(0 \left(\right. x - 0 \left.\right) - \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} \left(\right. y - 0 \left.\right) + \frac{a^{2}}{2} \left(\right. z - 0 \left.\right) = 0\)

Rút gọn:

\(- \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} y + \frac{a^{2}}{2} z = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } - \sqrt{3} y + z = 0 \Rightarrow z = \sqrt{3} y\)

Bước 9: Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB)

• Mặt phẳng: \(- \sqrt{3} y + z = 0\) hay \(0 x - \sqrt{3} y + 1 z + 0 = 0\)
• Khoảng cách từ điểm \(I \left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right)\) đến mặt phẳng \(A x + B y + C z + D = 0\) là:

\(d = \frac{\mid A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D \mid}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\)

• Với \(A = 0 , B = - \sqrt{3} , C = 1 , D = 0\) và \(I \left(\right. \frac{a}{4} , \frac{3 a}{4} , \frac{a \sqrt{3}}{4} \left.\right)\):

\(d = \frac{\mid 0 \times \frac{a}{4} - \sqrt{3} \times \frac{3 a}{4} + 1 \times \frac{a \sqrt{3}}{4} + 0 \mid}{\sqrt{0^{2} + \left(\right. - \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 1^{2}}} = \frac{\mid - \frac{3 a \sqrt{3}}{4} + \frac{a \sqrt{3}}{4} \mid}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{\mid - \frac{2 a \sqrt{3}}{4} \mid}{2} = \frac{\frac{2 a \sqrt{3}}{4}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{4}\)

Kết luận:

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) là:

\(\boxed{\frac{a \sqrt{3}}{4}}\)

Bạn muốn mình giải tiếp bài nào? Bạn chọn nhé!