Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1 :
Ta có :
\(A=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{9999}{10000}\)
\(A=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{10000-1}{10000}\)
\(A=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{100^2-1}{100^2}\)
\(A=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{100^2}{100^2}-\frac{1}{100^2}\)
\(A=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{100^2}\)
\(A=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
Do từ \(2\) đến \(100\) có \(100-2+1=99\) số \(1\) nên :
\(A=99-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)< 99\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\) lại có :
\(B< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)
\(B< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(B< 1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(A=99-B>99-1=98\)
\(\Rightarrow\)\(A>98\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(98< A< 99\)
Vậy A không phải là số nguyên
Chúc bạn học tốt ~
Câu a) :
x=-5/3
Câu b) :
GỢI Ý : 3n-5 phải chia hết cho n-4 để A là số nguyên ( đk : n khác 4)
\(a,\left(\frac{1}{24.25}+\frac{1}{25.26}+...+\frac{1}{29.30}\right).120+x:\frac{1}{3}=-4\)
\(\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{25}+\frac{1}{25}-\frac{1}{26}+...+\frac{1}{29}-\frac{1}{30}\right).120+3x=-4\)
\(\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{30}\right).120+3x=-4\)
\(\frac{1}{120}.120+3x=-4\)
\(1+3x=-4\)
\(\Rightarrow3x=-5\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{3}\)
\(b,A=\frac{3n-5}{n-4}=\frac{3n-12+7}{n-4}=3+\frac{7}{n-4}\)
Để \(A\in Z\Rightarrow7⋮n-4\Leftrightarrow n-4\in\left(1;-1;7;-7\right)\)
\(\Rightarrow n\in\left(5;3;11;-3\right)\)
\(A=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+\frac{1}{4.4}+...+\frac{1}{9.9}+\frac{1}{10.10}\)
\(A>\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{10.10}\)
\(A>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)
\(A>1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+...+\left(-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{10}\)
\(A>1+0+0+0+...+0-\frac{1}{10}\)
\(A>1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
\(\Rightarrow A>\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
mà : \(\frac{1}{2}=\frac{66}{132}>\frac{65}{132}\)
\(\Rightarrow A>\frac{65}{132}\)
Vậy \(A>\frac{65}{132}\)
\(H=\frac{1}{a^2}+\frac{2}{a^3}+\frac{3}{a^4}+...+\frac{n}{a^{n+1}}\)
\(H=\frac{a^{n-1}+2.a^{n-2}+...+\left(n-1\right).a+n}{a^{n+1}}\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\left(a^{n-2}+a^{n-2}+a+1\right)+\left(a^{n-2}+a^{n-3}+...+a+1\right)+...+\left(a+1\right)+1\right]\)
Đặt \(Sn=1+a+a^2+...+a^n\)=>\(a.Sn=a+a^2+a^3+...+a^n+a^{n+1}\)
=> \(a.Sn-Sn=a^{n+1}-1\)=>\(Sn.\left(a-1\right)=a^{n+1}-1\)=>\(Sn=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\)
Khi đó \(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^n-1}{a-1}+\frac{a^{n-1}-1}{a-1}+...+\frac{a^2-1}{a-1}+\frac{a-1}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^n+a^{n-1}+...+a+1-\left(n+1\right)}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^n+a^{n-1}+...+a+1}{a-1}-\frac{n-1}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^{n+1}-1}{\left(a-1\right)^2}-\frac{n-1}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{a^{n+1}}.\left[\frac{a^{n+1}}{\left(a-1\right)^2}-\frac{1}{a-1}-\frac{n+1}{a-1}\right]\)
\(H=\frac{1}{\left(a-1\right)^2}-\frac{1}{a^{n+1}.\left(a-1\right)^2}-\frac{n+1}{a^{n+1}.\left(a-1\right)}< \frac{1}{\left(a-1\right)^2}\)(đpcm)
Xong rồi đó , phù.......
50A=\(\left(\frac{49}{1}+.......+\frac{1}{49}\right)49:2\)
50A= 1201
A=1201:50
A=\(\frac{1201}{10}\)=120.1
mà 120,1 ko phải số tự nhiên mà là số thập phân
=>A ko là số tự nhiên
A=1−221+321−421+…+(−1)n+1n21+…+202521
Yêu cầu: Chứng minh \(A\) không phải số nguyên.
Gợi ý:
Để giải câu hỏi chứng minh số \(A\) không phải số nguyên, trước hết mình sẽ viết lại tổng \(A\) cho rõ:
\(A = 1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} - \hdots + \left(\right. - 1 \left.\right)^{n + 1} \frac{1}{n^{2}} + \hdots + \frac{1}{2025^{2}}\)
Nói cách khác, đây là tổng của chuỗi số có dấu xen kẽ (alternating series):
\(A = \sum_{n = 1}^{2025} \left(\right. - 1 \left.\right)^{n + 1} \frac{1}{n^{2}}\)
Mục tiêu:
Chứng minh: \(A\) không phải số nguyên.
Phân tích và gợi ý chứng minh:
Chuỗi có dạng:
\(S = 1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + \hdots\)
Các số hạng có độ lớn giảm dần và dấu thay đổi xen kẽ.
Chuỗi tổng vô hạn:
\(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\left(\right. - 1 \left.\right)^{n + 1}}{n^{2}}\)
được gọi là chuỗi Dirichlet eta tại \(s = 2\), và giá trị này xấp xỉ:
\(\eta \left(\right. 2 \left.\right) = \left(\right. 1 - \frac{1}{2^{1}} + \frac{1}{3^{1}} - \hdots \textrm{ } \left.\right) \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; s = 2\)
Thực ra:
\(\eta \left(\right. 2 \left.\right) = \left(\right. 1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + \hdots \textrm{ } \left.\right) = \left(\right. 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} - \frac{1}{16} + \hdots \textrm{ } \left.\right)\)
và
\(\eta \left(\right. 2 \left.\right) = \left(\right. 1 - 2^{1 - 2} \left.\right) \zeta \left(\right. 2 \left.\right) = \left(\right. 1 - \frac{1}{2} \left.\right) \zeta \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{1}{2} \zeta \left(\right. 2 \left.\right)\)
Biết rằng \(\zeta \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.6449\), nên:
\(\eta \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{\pi^{2}}{12} \approx 0.822467...\)
Chuỗi vô hạn hội tụ tới khoảng 0.822467, là số thực không nguyên.
Tổng hữu hạn \(A\) với \(n = 2025\) là một xấp xỉ của chuỗi vô hạn này.
Vậy tổng hữu hạn \(A\) nằm trong khoảng (0,1), rõ ràng không phải số nguyên.
Kết luận:
Nếu bạn muốn, mình có thể viết lại bằng cách giải tích hoặc dùng ước lượng cụ thể hơn, bạn có muốn không?