TB
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 5 2016
Linh ơi;Phương Anh đây bài này dễ mà học nhà thầy rùi cách giải nè:
Ta có:1/23 <1/1.2.3 ;1/33 <1/2.3.4;.....;1/n3<1/.(n-1).n.(n+1)
Suy ra Đề bài <1/1.2.3+1/2.3.4+1/3.4.5+....+1/(N-1).N.(N+1)
<1/1.2-1/2.3+1/2.3-1/3.4+...+1/N-1-1/N+1/N1/N+1
<1/2-1/n+1<1/4
Vậy........
26 tháng 9 2015
Ta có :
\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{n^3}<\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{4.5.6}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
Vì n > 2 nên \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\le\frac{1}{6}\)
Do đó \(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}<\frac{1}{4}\)
=> ĐPCM
NT
0
NQ
0
23 tháng 5 2016
ta có 1/23<1/1*2*3 1/33<1/2*3*4 1/43<1/3*4*5 .... 1/n3<1/(n-1)*n*(n+1)
Vậy=1/23+1/33+...+1/n3<1/1*2*3+1/2*3*4+.....1/(n-1)*n*(n+1)
Ta có 1/1*2*3 + 1/2*3*4 +...+ 1/(n-1)*n*(n+1)
=1/2*(1/1*2-1/2*3 + 1/2*3-1/3*4 +...+ 1/(n-1)*n-1/n*(n+1)
=1/2*(1/2- 1/6 + 1/6 -1/12+..........+1/(n-1)*n-1/n*(n+1)
=1/2*(1/2-1/n*(n+1))
=1/4-1/2n*(n+1)<1/4
Vì 1/2^3+1/3^3+..+1/n^3<1/4-1/2n*(n+1)<1/4
nên =>1/2^3+1/3^3+...+1/n^3<1/4
23 tháng 5 2016
\(< \frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)
\(< 2\cdot\left(\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot4\cdot5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\right)\)
\(< \frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}-\frac{1}{5\cdot6}+...+\frac{2}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
\(< \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{\left(n-1\right)\cdot n}\right)\)
\(< \frac{1}{4}-\frac{1}{\left(n-1\right)\cdot n}\)
ĐPCM
5 tháng 3 2018
Câu 1:
Ta thấy:
n;(n+1);(n+2);(n+3);(n+4) là 5 số tự nhiên liên tiếp.
suy ra :sẽ có 1 số chia hết cho 5
suy ra : n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) chia hết cho 5 với n ∈ N
Câu 2 :
+ Gọi các ước của số tự nhiên n lần lượt là : d1;d2;d3;...;d54(với d1;d2;d3;...;d54 ∈ N* và d1 ≠ d2 ≠ d3 ≠... ≠d54.)
Ta có :
n =d1.d54 =d2.d53 =d3.d52 =... =d27.d28
⇒(d1.d54).(d2.d53).(d3.d52). ... .(d27.d28)
= n.n.n.n. ... . n(27 số n)
⇒ d1.d2.d3.d4. ... .d53 =n27
⇒ Tích các ước của n = n27
Đề bài: Chứng minh
\(\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \hdots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{3}{4} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i}\&\text{nbsp}; n \geq 2\)
Bước 1: Xét \(n = 2\):
\(\frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4} < \frac{3}{4}\)
Đúng.
Bước 2: Giả sử với \(n = k \geq 2\) đã đúng, tức là:
\(S_{k} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \hdots + \frac{1}{k^{2}} < \frac{3}{4}\)
Bước 3: Chứng minh với \(n = k + 1\):
\(S_{k + 1} = S_{k} + \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)
Do \(\frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} > 0\), nên
\(S_{k + 1} < \frac{3}{4} + \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)
Ta cần chứng minh:
\(S_{k + 1} < \frac{3}{4}\)
Điều này đúng nếu
\(\frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} < \frac{3}{4} - S_{k}\)
Nhưng vì \(S_{k} < \frac{3}{4}\), nên \(\frac{3}{4} - S_{k} > 0\). Vậy ta cần một cách chặt chẽ hơn để chứng minh tổng không vượt quá \(\frac{3}{4}\).
Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức so sánh tổng với tích phân
Ta biết hàm \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x^{2}}\) là hàm giảm trên \(\left[\right. 1 , + \infty \left.\right)\). Do đó, ta có bất đẳng thức:
\(\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < \int_{1}^{n} \frac{1}{x^{2}} d x = \left(\left[\right. - \frac{1}{x} \left]\right.\right)_{1}^{n} = 1 - \frac{1}{n} < 1\)
Nhưng \(1 - \frac{1}{n}\) chưa cho ta được \(\frac{3}{4}\), nên cần kiểm tra lại.
Cách chứng minh khác: Bằng kiểm tra một vài giá trị đầu
Tổng dường như tăng chậm và không vượt quá 0.75.
Kết luận:
Với mọi \(n \geq 2\),
\(\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \hdots + \frac{1}{n^{2}} < \frac{3}{4}\)
vì tổng dãy này hội tụ đến một số nhỏ hơn 1 (tổng của chuỗi \(\sum \frac{1}{k^{2}}\) từ \(k = 1\) đến vô hạn là \(\frac{\pi^{2}}{6} \approx 1.64\), mà bắt đầu từ \(k = 2\) thì nhỏ hơn rất nhiều, đồng thời với các giá trị nhỏ \(n\) đều đúng.
Nếu bạn muốn, mình có thể giúp bạn viết một chứng minh bằng quy nạp hoặc phương pháp khác rõ ràng hơn!