Bài toán yêu cầu tìm tất cả các bộ số nguyên \(\left(\right. n , k , p \left.\right)\), trong đó \(p\) là số nguyên tố, sao cho:

\(\mid 6 n^{2} - 17 n - 39 \mid = k^{2} .\)

Tuy nhiên, đề bài bạn viết chưa rõ vai trò của \(p\) (số nguyên tố) ở đâu trong phương trình. Hiện tại chỉ thấy phương trình chứa \(n , k\). Bạn có thể làm rõ hơn vai trò của \(p\) không? Ví dụ:

• Phải tìm \(n , k\) nguyên sao cho phương trình đúng và \(p\) là số nguyên tố liên quan như thế nào?
• \(p\) là một trong \(n , k , p\)?
• Hoặc \(p\) là một tham số hay là nghiệm của phương trình?

Giả sử đề bài đúng là:

Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left(\right. n , k \left.\right)\) sao cho \(\mid 6 n^{2} - 17 n - 39 \mid = k^{2}\), và \(p\) là số nguyên tố nào đó thỏa mãn điều kiện.

Phân tích bài toán:

Ta xét phương trình

\(\mid 6 n^{2} - 17 n - 39 \mid = k^{2} .\)

Có nghĩa là \(6 n^{2} - 17 n - 39 = \pm k^{2}\).

Ta tách ra hai trường hợp:

1. \(6 n^{2} - 17 n - 39 = k^{2}\).
2. \(6 n^{2} - 17 n - 39 = - k^{2}\).

Trường hợp 1: \(6 n^{2} - 17 n - 39 = k^{2}\).

Xếp lại:

\(6 n^{2} - 17 n - 39 - k^{2} = 0.\)

Ở đây, \(n , k \in \mathbb{Z}\).

Trường hợp 2: \(6 n^{2} - 17 n - 39 = - k^{2}\).

Tương tự:

\(6 n^{2} - 17 n - 39 + k^{2} = 0.\)

Cách giải:

Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp.

Trường hợp 1: \(6 n^{2} - 17 n - 39 = k^{2}\)

Đặt

\(6 n^{2} - 17 n - 39 - k^{2} = 0.\)

Xem đây là phương trình bậc hai theo \(n\):

\(6 n^{2} - 17 n - \left(\right. 39 + k^{2} \left.\right) = 0.\)

Để \(n\) nguyên, thì

\(\Delta = \left(\right. - 17 \left.\right)^{2} - 4 \times 6 \times \left(\right. - \left(\right. 39 + k^{2} \left.\right) \left.\right) = 289 + 24 \left(\right. 39 + k^{2} \left.\right) = 289 + 936 + 24 k^{2} = 1225 + 24 k^{2}\)

phải là một số chính phương.

Gọi \(\Delta = m^{2}\) với \(m \in \mathbb{Z}\), ta có

\(m^{2} = 1225 + 24 k^{2} .\)

Viết lại:

\(m^{2} - 24 k^{2} = 1225.\)

Đây là phương trình dạng Pell biến thể:

\(m^{2} - 24 k^{2} = 1225.\)

Phương trình Pell biến thể:

Tìm nghiệm nguyên \(\left(\right. m , k \left.\right)\) sao cho:

\(m^{2} - 24 k^{2} = 1225.\)

Phân tích:

• 1225 = \(35^{2}\).
• Vậy có thể viết lại

\(m^{2} - 24 k^{2} = 35^{2} .\)

Tức là

\(m^{2} - 24 k^{2} = 35^{2} .\)

Phương trình này giống dạng

\(x^{2} - D y^{2} = N ,\)

với \(D = 24\), \(N = 35^{2}\).

Cách giải:

Tìm các nghiệm nguyên của phương trình này có thể bằng cách phân tích nhân tử trong \(\mathbb{Z} \left[\right. \sqrt{24} \left]\right.\), hoặc thử nghiệm số nhỏ.

Thử một số giá trị nhỏ cho \(k\):

• \(k = 0\), \(m^{2} = 1225 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } m = \pm 35\).
• \(k = 1\), \(m^{2} = 1225 + 24 = 1249\), không là số chính phương.
• \(k = 2\), \(m^{2} = 1225 + 96 = 1321\), không là số chính phương.
• \(k = 3\), \(m^{2} = 1225 + 216 = 1441\), không.
• \(k = 4\), \(m^{2} = 1225 + 384 = 1609\), không.
• \(k = 5\), \(m^{2} = 1225 + 600 = 1825\), không.
• \(k = 6\), \(m^{2} = 1225 + 864 = 2089\), không.
• \(k = 7\), \(m^{2} = 1225 + 1176 = 2401 = 49^{2}\), có.

Vậy \(\left(\right. m , k \left.\right) = \left(\right. 49 , 7 \left.\right)\) là nghiệm.

Từ đây ta có 2 nghiệm \(\left(\right. m , k \left.\right)\):

• \(\left(\right. 35 , 0 \left.\right)\)
• \(\left(\right. 49 , 7 \left.\right)\)

Và có thể tiếp tục tìm thêm nghiệm bằng cách nhân với nghiệm cơ sở của Pell \(x^{2} - 24 y^{2} = 1\).

Với \(m = 35 , k = 0\):

\(n = \frac{17 \pm m}{12} = \frac{17 \pm 35}{12} .\)

Tính từng trường hợp:

• \(\frac{17 + 35}{12} = \frac{52}{12} = \frac{13}{3}\) không nguyên.
• \(\frac{17 - 35}{12} = \frac{- 18}{12} = - \frac{3}{2}\) không nguyên.

Vậy không có \(n\) nguyên với \(k = 0\).

Với \(m = 49 , k = 7\):

\(n = \frac{17 \pm 49}{12} .\)

Tính:

• \(\frac{17 + 49}{12} = \frac{66}{12} = 5.5\) không nguyên.
• \(\frac{17 - 49}{12} = \frac{- 32}{12} = - \frac{8}{3}\) không nguyên.

Không có \(n\) nguyên.

Thử thêm nghiệm khác:

Trường hợp 2: \(6 n^{2} - 17 n - 39 = - k^{2}\)

Xếp lại:

\(6 n^{2} - 17 n - 39 + k^{2} = 0.\)

Tương tự, coi phương trình bậc hai theo \(n\):

\(6 n^{2} - 17 n + \left(\right. k^{2} - 39 \left.\right) = 0 ,\)

định \(\Delta_{n}\):

\(\Delta_{n} = \left(\right. - 17 \left.\right)^{2} - 4 \times 6 \times \left(\right. k^{2} - 39 \left.\right) = 289 - 24 k^{2} + 936 = 1225 - 24 k^{2} .\)

Phải có \(\Delta_{n} = m^{2}\) là số chính phương nguyên:

\(m^{2} = 1225 - 24 k^{2} .\)

Viết lại:

\(m^{2} + 24 k^{2} = 1225.\)

Đây là phương trình elip trong số nguyên:

\(m^{2} + 24 k^{2} = 1225 = 35^{2} .\)

Tìm cặp \(\left(\right. m , k \left.\right)\) nguyên thỏa:

\(m^{2} + 24 k^{2} = 1225.\)

Thử các giá trị \(k\) sao cho \(24 k^{2} \leq 1225\):

• \(k = 0 \Rightarrow m^{2} = 1225 \Rightarrow m = \pm 35\).
• \(k = 1 \Rightarrow m^{2} = 1225 - 24 = 1201\), không chính phương.
• \(k = 2 \Rightarrow m^{2} = 1225 - 96 = 1129\), không.
• \(k = 3 \Rightarrow m^{2} = 1225 - 216 = 1009\), không.
• \(k = 4 \Rightarrow m^{2} = 1225 - 384 = 841 = 29^{2}\), có.
• \(k = 5 \Rightarrow m^...