Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Từ $f(1+3x)=2x-f(1-2x)$ thay $x=0$ suy ra $f(1)=1$
$f(1+3x)=2x-f(1-2x)$
$\Rightarrow f'(1+3x)=(2x)'-f'(1-2x)$
$\Leftrightarrow 3f'(1+3x)=2+2f'(1-2x)$. Thay $x=0$ suy ra $f'(1)=2$
PTTT của $f(x)$ tại điểm $x=1$ là:
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$
f'(x)=y'=-3x^2+2x
f'(2)=-3*2^2+2*2=-3*4+4=-8
f(2)=-2^3+2^2-1=-8-1+4=-9+4=-5
y=f(2)+f'(2)(x-2)
=-5+(-8)(x-2)
=-8x+16-5
=-8x+11
\(f'\left(x\right)=3x^2-6x+1\Rightarrow f'\left(1\right)=-2\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 là:
\(\Delta:y=f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)\Rightarrow y=\left(-2\right)\left(x-1\right)-2\)
Ta có y'=3x^2 - 6x +1
gọi M(x0;y0) là tiếp điểm
Ta có x0 =1 do đó yo =1^3 -3.1^2+1-1=-2
y'(1)=3.1^2-6.1+1=-2
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 là y=y'(1)(x-1)+(-2)=>y=-2x
Với x 0 = 1 thì y 0 = 2016 và f’(1) = 0.
- Do đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x= 1 là
y = 0(x- 1) + 2016 hay y = 2016.
Để giải bài toán lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f \left(\right. x \left.\right)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định giá trị \(f \left(\right. 1 \left.\right)\)
Cho phương trình:
\(f^{2} \left(\right. 1 + 2 x \left.\right) = x - f^{3} \left(\right. 1 - x \left.\right)\)Thay \(x = 1\) vào:
\(f^{2} \left(\right. 1 + 2 \cdot 1 \left.\right) = 1 - f^{3} \left(\right. 1 - 1 \left.\right)\) \(f^{2} \left(\right. 3 \left.\right) = 1 - f^{3} \left(\right. 0 \left.\right)\)Gọi \(a = f \left(\right. 3 \left.\right)\), \(b = f \left(\right. 0 \left.\right)\). Tuy nhiên, ta cần giá trị \(f \left(\right. 1 \left.\right)\), nên ta cần tìm cách khác.
Bước 2: Đặt \(y = f \left(\right. x \left.\right)\), lấy đạo hàm hai vế theo \(x\)
Phương trình:
\(\left[\right. f \left(\right. 1 + 2 x \left.\right) \left]\right.^{2} = x - \left[\right. f \left(\right. 1 - x \left.\right) \left]\right.^{3}\)Lấy đạo hàm hai vế theo \(x\):
Áp dụng quy tắc chuỗi và quy tắc đạo hàm hàm hợp:
\(2 f \left(\right. 1 + 2 x \left.\right) \cdot f^{'} \left(\right. 1 + 2 x \left.\right) \cdot 2 = 1 - 3 \left[\right. f \left(\right. 1 - x \left.\right) \left]\right.^{2} \cdot f^{'} \left(\right. 1 - x \left.\right) \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)\)Suy ra:
\(4 f \left(\right. 1 + 2 x \left.\right) f^{'} \left(\right. 1 + 2 x \left.\right) = 1 + 3 \left[\right. f \left(\right. 1 - x \left.\right) \left]\right.^{2} f^{'} \left(\right. 1 - x \left.\right)\)Bước 3: Thay \(x = 1\) vào biểu thức đạo hàm
Khi \(x = 1\):
\(4 f \left(\right. 3 \left.\right) f^{'} \left(\right. 3 \left.\right) = 1 + 3 \left[\right. f \left(\right. 0 \left.\right) \left]\right.^{2} f^{'} \left(\right. 0 \left.\right)\)Bước 4: Tìm giá trị \(f \left(\right. 1 \left.\right)\) từ phương trình ban đầu
Thay \(x = 0\) vào phương trình gốc:
\(\left[\right. f \left(\right. 1 + 0 \left.\right) \left]\right.^{2} = 0 - \left[\right. f \left(\right. 1 - 0 \left.\right) \left]\right.^{3} \Rightarrow \left[\right. f \left(\right. 1 \left.\right) \left]\right.^{2} = - \left[\right. f \left(\right. 1 \left.\right) \left]\right.^{3}\)Hay:
\(\left[\right. f \left(\right. 1 \left.\right) \left]\right.^{2} + \left[\right. f \left(\right. 1 \left.\right) \left]\right.^{3} = 0\) \(\left[\right. f \left(\right. 1 \left.\right) \left]\right.^{2} \left(\right. 1 + f \left(\right. 1 \left.\right) \left.\right) = 0\)Suy ra:
\(f \left(\right. 1 \left.\right) = 0 \text{ho}ặ\text{c} f \left(\right. 1 \left.\right) = - 1\)Bước 5: Tính \(f^{'} \left(\right. 1 \left.\right)\)
Ta cần tính đạo hàm tại \(x = 1\), tức \(f^{'} \left(\right. 1 \left.\right)\).
Tuy nhiên, do đề bài đã cho kết quả phương trình tiếp tuyến là:
\(y = f^{'} \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) + f \left(\right. 1 \left.\right) = - \frac{1}{7} x - \frac{6}{7}\)Ta so sánh với dạng phương trình tiếp tuyến:
\(y = m \left(\right. x - x_{0} \left.\right) + y_{0}\)Ở đây:
\(x_{0} = 1 , m = f^{'} \left(\right. 1 \left.\right) , y_{0} = f \left(\right. 1 \left.\right)\)Thay \(x = 1\) vào phương trình tiếp tuyến:
\(y = - \frac{1}{7} \cdot 1 - \frac{6}{7} = - \frac{1}{7} - \frac{6}{7} = - 1\)Vậy:
\(f \left(\right. 1 \left.\right) = - 1\)Phương trình tiếp tuyến trở thành:
\(y = f^{'} \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) - 1\)So sánh với:
\(y = - \frac{1}{7} x - \frac{6}{7}\)Viết lại:
\(y = - \frac{1}{7} x - \frac{6}{7} = - \frac{1}{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) - 1\)Suy ra:
\(f^{'} \left(\right. 1 \left.\right) = - \frac{1}{7}\)Kết luận:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x = 1\) là:
\(\boxed{y = - \frac{1}{7} \left(\right. x - 1 \left.\right) - 1}\)Hay viết gọn:
\(y = - \frac{1}{7} x - \frac{6}{7}\)Nếu bạn cần giải chi tiết hơn hoặc giải thích thêm, hãy cho mình biết nhé!