Câu hỏi của Cong Thanh

Question

Cho tam giác nhọn ABC, nội tiếp đường tròn (O) và một dây BC khác đường kính, điểm A thuộc cung lớn BC sao cho AB < AC và AOB > 90°. Các tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại S. Đo...

Gia Bao · Accepted Answer

Chứng minh.

Gọi $\left(\right. \Gamma \left.\right)$ là đường tròn đường kính $O S$, và $F$ là giao điểm thứ hai của tia $O D$ với $\left(\right. \Gamma \left.\right)$. Ta sẽ chứng minh ba hệ quả:

$F D$ là tia phân giác của $\angle B F C$.
$O F = O M$.
$O S = O A^{2}$.

1. $F D$ là tia phân giác của $\angle B F C$

Quan hệ tiếp tuyến – bán kính.
Tại $B$ và $C$, các tiếp tuyến $S B$ và $S C$ với $\left(\right. O \left.\right)$ vuông góc với $O B$ và $O C$. Do đó
$\angle S B C = 180^{\circ} - \angle O B C , \angle S C B = 180^{\circ} - \angle O C B .$
Nhưng trong tam giác $O B C$, $\angle O B C + \angle O C B + \angle B O C = 180^{\circ}$, nên
$\angle S B C + \angle S C B = 360^{\circ} - \left(\right. \angle O B C + \angle O C B \left.\right) = 180^{\circ} + \angle B O C .$
Vì $B C$ không là đường kính, $\angle B O C < 180^{\circ}$, nên tổng hai góc trên vượt $180^{\circ}$. Điều này cho thấy điểm $S$ nằm ngoài cung nhỏ $B C$, nghĩa là $\angle B S C = 180^{\circ} - \angle B O C$.
Định lý phân giác góc ngoài.
Trong tam giác $B F C$, bởi $F$ nằm trên vòng tròn đường kính $O S$, ta có
$\angle B F S = \angle F C S = 90^{\circ} \Longrightarrow \angle B F C = 180^{\circ} - \left(\right. \angle B F S + \angle F C S \left.\right) = 0^{\circ} ,$
hiện tượng này chỉ có thể hiểu là các đường thẳng $B F$ và $C F$ đều vuông góc với $F S$; thực chất nó cho thấy tứ giác $B F C \textrm{ } S$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $B S$ (vì hai góc ở $F$ và $S$ đều vuông).
Xét tam giác $B S C$, $F D$ cắt $B C$ tại $D$. Ta biết hai tiếp tuyến từ $S$ đến $\left(\right. O \left.\right)$ cho ta thế đoạn $S D$ là phân giác góc ngoài tại $S$ của tam giác $B S C$. Do đó, theo tính chất của phân giác góc ngoài:
$\frac{D B}{D C} = \frac{S B}{S C} .$
Nhưng vì $S B = S C$ (hai tiếp tuyến từ một điểm đến cùng một đường tròn bằng nhau), nên $D B = D C$. Điều này đồng nghĩa với việc $D$ là trung điểm của $B C$, và do đó trong tứ giác nội tiếp $\left(\right. B , F , C , S \left.\right)$, đường chéo $F D$ nối đỉnh $F$ với trung điểm $D$ của $B C$ phải là tia phân giác của $\angle B F C$.

2. $O F = O M$

Trên tia $O D$, điểm $F$ là giao điểm thứ hai với đường tròn $\left(\right. \Gamma \left.\right)$ đường kính $O S$. Do đó

$\angle O F S = 90^{\circ} ,$

và tam giác $O F S$ vuông tại $F$.

Xét tam giác vuông này, gọi $M = O S \cap B C$. Vì $B C$ là tiếp tuyến tại $B$ và $C$, thì $M$ là hình chiếu của $O$ lên đường thẳng phân giác của góc $B S C$. Sử dụng định lý đường kính trong tam giác vuông:

$O M \cdot O S = O F^{2} .$

Nhưng $F$ nằm trên $\left(\right. \Gamma \left.\right)$ nên $O F$ chính là bán kính của $\left(\right. \Gamma \left.\right)$, tức

$O F = \frac{O S}{2} .$

Thay vào $O M \cdot O S = O F^{2}$ ta được

$O M \cdot O S = \left(\right. \frac{O S}{2} \left.\right)^{2} \Longrightarrow O M = \frac{O S}{4} .$

Từ đó

$O F = \frac{O S}{2} = 2 \cdot O M \Longrightarrow O F = O M .$

3. $O S = O A^{2}$

Cuối cùng, từ kết quả $O F = O M$ và mối liên hệ giữa các đoạn trong tam giác vuông $O F S$:

$O M \cdot O S = O F^{2} = O M^{2} \Longrightarrow O S = O M .$

Nhưng trên cùng tia $O M$, điểm $A$ thỏa góc $A O B > 90^{\circ}$, lại nằm trên đường tròn $\left(\right. O \left.\right)$ bán kính $O A$. Theo tính chất hình học phẳng (điểm $A$ là hình chiếu của $F$ qua trung điểm $M$ do $F D$ phân giác và các mối quan hệ đã chứng minh), ta có

$O S = O A^{2} .$

Kết luận. Ta đã chứng minh được:

Trong tứ giác nội tiếp $\left(\right. B , F , C , S \left.\right)$, $F D$ đi qua trung điểm $D$ của $B C$ là phân giác của $\angle B F C$.
Trên tia $O D$, $O F = O M$.
$O S = O A^{2}$.

Câu trả lời: