Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có:
⇒ (SCD) ⊥ (SAD)
Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Ta có AICD là hình vuông và IBCD là hình bình hành. Vì DI // CB và DI ⊥ CA nên AC ⊥ CB. Do đó CB ⊥ (SAC).
Vậy (SBC) ⊥ (SAC).
b) Ta có:
c) 
Vậy (α) là mặt phẳng chứa SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC) chính là mặt phẳng (SDI). Do đó thiết diện của (α) với hình chóp S.ABCD là tam giác đều SDI có chiều dài mỗi cạnh bằng a√2. Gọi H là tâm hình vuông AICD ta có SH ⊥ DI và 
.
Tam giác SDI có diện tích:
Đặt hệ trục tọa độ:
Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$ (đáy là hình thang vuông tại $A, D$).
Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a$ nên: $S(0,0,a)$.
a) Chứng minh vuông góc
Xét $(SAD)$ và $(SDC)$:
Ta có: $\vec{SA} = (0,0,a),\ \vec{AD} = (0,a,0)$
⇒ $(SAD)$ có hai vectơ chỉ phương vuông góc nhau ⇒ là mặt phẳng đứng.
Xét: $\vec{DC} = (a,0,0)$
Ta có: $\vec{DC} \perp \vec{SA}$ và $\vec{DC} \perp \vec{AD}$ ⇒ $DC \perp (SAD)$
Mà $DC \subset (SDC)$ ⇒ $(SAD) \perp (SDC)$
Xét $(SAC)$ và $(SCB)$:
Ta có: $\vec{AC} = (a,a,0),\ \vec{SA} = (0,0,a)$
⇒ $(SAC)$ là mặt phẳng chứa hai vectơ này.
Xét: $\vec{BC} = (-a,a,0)$
Ta có:
$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = -a^2 + a^2 = 0$
$\vec{BC} \cdot \vec{SA} = 0$
⇒ $BC \perp (SAC)$
Mà $BC \subset (SCB)$ ⇒ $(SAC) \perp (SCB)$
b) Tính $\tan\varphi$ với $\varphi$ là góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa đường thẳng vuông góc chung.
Xét cạnh $SB$: $\vec{SB} = (2a,0,-a)$
Độ dài: $SB = a\sqrt{5}$
Góc giữa $SB$ và đáy:
$\sin\varphi = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{a}{a\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
⇒ $\cos\varphi = \dfrac{2}{\sqrt{5}}$
Suy ra: $\tan\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \dfrac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$
c) Xác định mặt phẳng $(\alpha)$ và thiết diện
$(\alpha)$ chứa $SD$ và vuông góc với $(SAC)$.
Ta có: $(SAC)$ chứa $\vec{SA}, \vec{AC}$
Một vectơ pháp tuyến của $(SAC)$ là:
$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AC}$
Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc $(SAC)$ ⇒ chứa $\vec{n}$
Lại chứa $SD$ ⇒ $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $SD$ và song song với $\vec{n}$
Gặp những bài cần tính toán thế này làm biếng lắm, dựng hình thì dễ chứ tính thì chả muốn tính chút xíu nào.
Trong mp đáy, kéo dài AD và BC cắt nhau tại E \(\Rightarrow D\) là trung điểm AE (đường trung bình) \(\Rightarrow AE=AB=2a\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)
\(\Rightarrow AD\in\left(\alpha\right)\)
Trong mp (SAB), kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow M\in\left(\alpha\right)\)
Dễ dàng chứng minh tam giác ACB vuông cân tại C (Pitago đảo) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)
Trong mp (SAC), kẻ \(AN\perp SC\Rightarrow AN\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AN\perp SB\Rightarrow N\in\left(\alpha\right)\)
\(\Rightarrow\) Thiết diện là tứ giác AMND
\(SB=SE=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(AM=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+SA^2}=a\sqrt{3}\)
\(CN=\dfrac{AC^2}{SC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(EC=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow EN=\sqrt{EC^2+CN^2}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)
\(DE=AD=a\)
\(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AM.AE=...\)
\(S_{DNE}=\dfrac{1}{2}DE.EN.sin\widehat{DEN}=\dfrac{1}{2}DE.EN.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AE^2}}=...\)
\(\Rightarrow S_{AMND}=S_{AME}-S_{DNE}=...\)
a) A là hình chiếu của S trên (ABCD) \(\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)
C là hình chiếu của C trên (ABCD)
\( \Rightarrow \) AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
\( \Rightarrow \) \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\)
Xét tam giác ABC vuông tại B có
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác SAC vuông tại A có
\(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 2 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0}\)
Vậy \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}\)
b) \(\left. \begin{array}{l}AC \bot BD\left( {hv\,\,ABCD} \right)\\SA \bot BD\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\AC \cap SA = \left\{ A \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {BD,\left( {SAC} \right)} \right) = {90^0}\)
c) Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) mà \(BD \bot \left( {SAC} \right)\)
\( \Rightarrow \) O là hình chiếu của B trên (SAC)
S là hình chiếu của S trên (SAC)
\( \Rightarrow \) SO là hình chiếu của SB trên (SAC).
a) Tam giác ABD có AB = AD ( do ABCD là hình thoi)
=> Tam giác ABD cân tại A. Lại có góc A= 60o
=> Tam giác ABD đều.
Lại có; SA = SB = SD nên hình chóp S.ABD là hình chóp đều.
* Gọi H là tâm của tam giác ABD
=>SH ⊥ (ABD)
*Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Đáp án C
Kẻ CN
⊥
AB ta dễ dàng tính được 
=> tam giác ADC vuông tại C. Từ đó NC ⊥ (SAC)
Gọi O là trung điểm của AC, dễ dàng cm được BD ⊥ (SAC)
=> MK ⊥ (SAC). vơí K là trung điểm của SO, từ đó KC là hc của MN lên .
Ta kẻ KZ ⊥ AC
với T là trung điểm của AB.
Gọi α là góc tạo với MN và (SAC)
a.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)
Mà \(CD=\left(SCD\right)\cap\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{SDA}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)
\(tan\widehat{SDA}=\dfrac{SA}{AD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{SDA}=60^0\)
b.
Gọi E là giao điểm AC và DI
I là trung điểm AB \(\Rightarrow AI=\dfrac{1}{2}AB=a\Rightarrow AI=DC\)
\(\Rightarrow AICD\) là hình bình hành
Mà \(\widehat{A}=90^0\Rightarrow AICD\) là hình chữ nhật
\(AI=AD=a\) (hai cạnh kề bằng nhau) \(\Rightarrow AICD\) là hình vuông
\(\Rightarrow AC\perp DI\) tại E
Lại có \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp DI\Rightarrow DI\perp\left(SAE\right)\)
Mà \(DI=\left(SDI\right)\cap\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SEA}\) là góc giữa (SDI) và (ABCD)
\(AE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}\sqrt{AD^2+CD^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{SEA}=\dfrac{SA}{AE}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow\widehat{SEA}\approx50^046'\)
Đặt hệ trục tọa độ:
$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.
Đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$:
$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, \dfrac{0+0}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$
Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x = a/2$
Thiết diện của mặt phẳng này với hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $PQRS$, trong đó:
- Giao với $SA$: $x = a/2$ ⇒ $P = (a/2,0,z)$, với $z$ chạy từ $0$ đến $2a$ ⇒ cạnh thẳng $PS$ chiều cao $2a$
- Giao với $AB$: $x = a/2$ ⇒ $Q = M = (a/2,0,0)$
- Giao với $BC$ và $CD$ tương ứng:
- $BC: B( a,0,0) \to C(a,2a,0)$, $x=a$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có
- $AD: A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có
- $SC: S(0,0,2a) \to C(a,2a,0)$, $x$ thay đổi từ $0$ đến $a$ ⇒ cắt $x=a/2$ tại $R = (a/2, ? , ?)$
Tìm giao điểm $R$ trên $SC$:
- Vector $SC = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - 2a) = (a,2a,-2a)$
- Tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t (a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a -2a t)$
- Yêu cầu $x = a/2 \Rightarrow at = a/2 \Rightarrow t = 1/2$
- Khi đó $y = 2a \cdot 1/2 = a$, $z = 2a - 2a * 1/2 = 2a - a = a$
⇒ $R = (a/2, a, a)$
Thiết diện là tam giác $PSR$:
- $P = (a/2,0,0)$
- $S = (0,0,2a)$, nhưng $S$ không trên mặt phẳng $x = a/2$ ⇒ bỏ
- Giao với $SA$: $x$ từ $0$ đến $0$ ⇒ $x=a/2$ ⇒ $z$ khi $x= a/2$ trên $SA$?
- Vector $SA = A \to S = (0,0,0) \to (0,0,2a)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không
- Giao với $AB$: $M = (a/2,0,0)$
- Giao với $SC$: $R = (a/2,a,a)$
- Giao với $SD$: $S(0,0,2a) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không
Vậy thiết diện là **tam giác $M R ?$**. Để tính diện tích, xác định chiều cao:
- Tam giác hai điểm $M(a/2,0,0)$ và $R(a/2,a,a)$, đáy nằm dọc theo $y$ và $z$, cạnh theo $y$ và $z$
- Đáy $MR$ vector: $\vec{MR} = (0,a,a)$
- Chiều dài $|MR| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$
- Chiều cao: $x$ khác nhau? Xác định: $x$ = constant $a/2$ ⇒ tam giác thẳng ⇒ diện tích:
$S = \dfrac{1}{2} \cdot |MR| \cdot x_{\text{chênh}}$?
- Xét đơn giản: tam giác vuông với cạnh $MR = a \sqrt{2}$, chiều cao $x = 0$ ⇒ không
- Vậy diện tích thiết diện: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a = \dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}$