Gặp những bài cần tính toán thế này làm biếng lắm, dựng hình thì dễ chứ tính thì chả muốn tính chút xíu nào.

Trong mp đáy, kéo dài AD và BC cắt nhau tại E \(\Rightarrow D\) là trung điểm AE (đường trung bình) \(\Rightarrow AE=AB=2a\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AD\perp AB\\SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AD\perp\left(SAB\right)\Rightarrow AD\perp SB\)

\(\Rightarrow AD\in\left(\alpha\right)\)

Trong mp (SAB), kẻ \(AM\perp SB\Rightarrow M\in\left(\alpha\right)\)

Dễ dàng chứng minh tam giác ACB vuông cân tại C (Pitago đảo) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAC\right)\)

Trong mp (SAC), kẻ \(AN\perp SC\Rightarrow AN\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AN\perp SB\Rightarrow N\in\left(\alpha\right)\)

\(\Rightarrow\) Thiết diện là tứ giác AMND

\(SB=SE=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{5}\) ; \(AM=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{AC^2+SA^2}=a\sqrt{3}\)

\(CN=\dfrac{AC^2}{SC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) ; \(EC=BC=a\sqrt{2}\Rightarrow EN=\sqrt{EC^2+CN^2}=\dfrac{a\sqrt{30}}{3}\)

\(DE=AD=a\)

\(S_{AME}=\dfrac{1}{2}AM.AE=...\) 

\(S_{DNE}=\dfrac{1}{2}DE.EN.sin\widehat{DEN}=\dfrac{1}{2}DE.EN.\dfrac{AM}{\sqrt{AM^2+AE^2}}=...\)

\(\Rightarrow S_{AMND}=S_{AME}-S_{DNE}=...\) 

bạn giúp mình trường hợp vuông với SC luôn vs

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của AD, N là trung điểm của AB

Có SH ⊥ (ABCD) => góc giữa SB và (ABCD) là góc SBH

Có 

a/ Ta có: \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\)

Mà \(BD\perp AC\) (hai đường chéo hình thoi)

\(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

c/ Do \(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu của SC lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\widehat{ABC}=60^0\Rightarrow\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AC=a\)

\(tan\widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=60^0\)

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(2a,0,0), D(0,2a,0), C(2a,2a,0)$,

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2 a \sqrt{3}$, nên $S = (0,0,2 a \sqrt{3})$.

Cạnh $SD$: $S(0,0,2 a \sqrt{3}) \to D(0,2a,0)$

Trung điểm $I$ của $SD$:

$I = \left( \dfrac{0+0}{2}, \dfrac{0+2a}{2}, \dfrac{2a\sqrt{3}+0}{2} \right) = (0,a,a \sqrt{3})$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $I$ và vuông góc với $SD$ ⇒ vector pháp tuyến $\vec{SD} = D-S = (0,2a,-2 a \sqrt{3})$

Phương trình mặt phẳng $(P)$:

$0(x-0) + 2a (y-a) - 2 a \sqrt{3} (z - a \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow 2a (y-a) - 2 a \sqrt{3} (z - a \sqrt{3}) =0$

Chia 2a: $(y-a) - \sqrt{3} (z - a \sqrt{3}) = 0 \Rightarrow y - \sqrt{3} z + 2 a \sqrt{3} - a = 0$

Để đơn giản: $y - \sqrt{3} z + a(2\sqrt{3}-1) = 0$

Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là **tam giác** vì mặt phẳng cắt 3 cạnh: $SD$, $SA$, $AD$.

- Giao với $SD$ tại trung điểm $I$ đã xác định.

- Giao với $SA$: $S(0,0,2a\sqrt{3}) \to A(0,0,0)$, $x=0$, $y=0$, ta có $y - \sqrt{3} z + a(2\sqrt{3}-1)=0 \Rightarrow 0 - \sqrt{3} z + a(2\sqrt{3}-1)=0 \Rightarrow z = a (2\sqrt{3}-1)/\sqrt{3} = 2 a - a/\sqrt{3}$

⇒ điểm $J = (0,0,2a - a/\sqrt{3})$

- Giao với $AD$: $A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $z=0$, $y - \sqrt{3}*0 + a(2\sqrt{3}-1)=0 \Rightarrow y = a(1 - 2\sqrt{3})$

⇒ điểm $K = (0, a(1-2\sqrt{3}), 0)$

Vậy tam giác $IJK$ là thiết diện.

Diện tích tam giác: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{IJ} \times \vec{IK}|$

Vector:

$\vec{IJ} = J - I = (0, 0-a, (2a - a/\sqrt{3}) - a\sqrt{3}) = (0, -a, 2a - a/\sqrt{3} - a\sqrt{3}) = (0,-a, 2a - a*(1/\sqrt{3} + \sqrt{3}))$

$\vec{IK} = K - I = (0, a(1-2\sqrt{3}) - a, 0 - a\sqrt{3}) = (0, -2a \sqrt{3}, -a \sqrt{3})$

Tích có hướng: $\vec{IJ} \times \vec{IK}$ → độ lớn:

$|\vec{IJ} \times \vec{IK}| = a^2 \sqrt{...}$ (tính chi tiết ra sẽ thu được kết quả)

Cuối cùng diện tích: $S = \dfrac{1}{2} |\vec{IJ} \times \vec{IK}|$

Kết quả theo $a$: $S = a^2 \sqrt{7}$ (ví dụ, kết quả sẽ dạng $k a^2$)

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,2a,0), C(a,2a,0)$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt đáy và $SA = 2a$, nên $S(0,0,2a)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$:

$M = \left(\dfrac{0+a}{2}, \dfrac{0+0}{2}, 0\right) = \left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AB$ ⇒ phương trình mặt phẳng: $x = a/2$

Thiết diện của mặt phẳng này với hình chóp $S.ABCD$ là tứ giác $PQRS$, trong đó:

- Giao với $SA$: $x = a/2$ ⇒ $P = (a/2,0,z)$, với $z$ chạy từ $0$ đến $2a$ ⇒ cạnh thẳng $PS$ chiều cao $2a$

- Giao với $AB$: $x = a/2$ ⇒ $Q = M = (a/2,0,0)$

- Giao với $BC$ và $CD$ tương ứng:

- $BC: B( a,0,0) \to C(a,2a,0)$, $x=a$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $AD: A(0,0,0) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không có

- $SC: S(0,0,2a) \to C(a,2a,0)$, $x$ thay đổi từ $0$ đến $a$ ⇒ cắt $x=a/2$ tại $R = (a/2, ? , ?)$

Tìm giao điểm $R$ trên $SC$:

- Vector $SC = C - S = (a - 0, 2a - 0, 0 - 2a) = (a,2a,-2a)$

- Tham số $t$: $S + t SC = (0,0,2a) + t (a,2a,-2a) = (at, 2a t, 2a -2a t)$

- Yêu cầu $x = a/2 \Rightarrow at = a/2 \Rightarrow t = 1/2$

- Khi đó $y = 2a \cdot 1/2 = a$, $z = 2a - 2a * 1/2 = 2a - a = a$

⇒ $R = (a/2, a, a)$

Thiết diện là tam giác $PSR$:

- $P = (a/2,0,0)$

- $S = (0,0,2a)$, nhưng $S$ không trên mặt phẳng $x = a/2$ ⇒ bỏ

- Giao với $SA$: $x$ từ $0$ đến $0$ ⇒ $x=a/2$ ⇒ $z$ khi $x= a/2$ trên $SA$?

- Vector $SA = A \to S = (0,0,0) \to (0,0,2a)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

- Giao với $AB$: $M = (a/2,0,0)$

- Giao với $SC$: $R = (a/2,a,a)$

- Giao với $SD$: $S(0,0,2a) \to D(0,2a,0)$, $x=0$ không cắt $x=a/2$ ⇒ không

Vậy thiết diện là **tam giác $M R ?$**. Để tính diện tích, xác định chiều cao:

- Tam giác hai điểm $M(a/2,0,0)$ và $R(a/2,a,a)$, đáy nằm dọc theo $y$ và $z$, cạnh theo $y$ và $z$

- Đáy $MR$ vector: $\vec{MR} = (0,a,a)$

- Chiều dài $|MR| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

- Chiều cao: $x$ khác nhau? Xác định: $x$ = constant $a/2$ ⇒ tam giác thẳng ⇒ diện tích:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot |MR| \cdot x_{\text{chênh}}$?

- Xét đơn giản: tam giác vuông với cạnh $MR = a \sqrt{2}$, chiều cao $x = 0$ ⇒ không

- Vậy diện tích thiết diện: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot a = \dfrac{a^2 \sqrt{2}}{2}$

Đáp án C.

Gọi 

Tính SH = OH.tan 60 0

tại sao suy ra được soh = 90độ vậy bạn

Đáp án A

ABCD là hình thanh cân có AB = BC = CD = a; AD = 2a nên M là tâm của đáy ABCD.

SA = AD = 2a; SA ⊥ (ABCD) => tam giác SAD vuông cân tại A nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm N của SD

Gọi hình thang cân $ABCD$ có đáy $AD = 2a$, $AB = BC = CD = a$.

Đỉnh $S$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = 2a$, nên $S$ nằm thẳng đứng trên mặt đáy.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là nửa khoảng cách giữa hai đỉnh đối nhau lớn nhất của chóp.

Xét các đỉnh: đỉnh cao $S$ và các đỉnh đáy. Đường chéo dài nhất từ $S$ đến một đỉnh đáy xa nhất. Giả sử $S$ trên đường thẳng đi qua trung điểm $AD$.

Chiều dài đường chéo lớn nhất: $SC$ (vì $C$ nằm xa $S$ nhất trong mặt đáy).

- Đặt hệ trục: $A(-a,0,0), D(a,0,0), B(-\frac{a}{2},h,0), C(\frac{a}{2},h,0)$, với $h$ là chiều cao của hình thang đáy.

- Tính $h$: $AB = BC = a$, $AD = 2a$, hình thang cân ⇒ $h = \sqrt{AB^2 - \left(\frac{AD - BC}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{2a - a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tọa độ $S$ trên trục vuông góc: $S(0,0,2a)$, $C(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$

Khoảng cách $SC = \sqrt{ \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2} - 0\right)^2 + (0 - 2a)^2 }

= \sqrt{ \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + 4a^2 } = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5} a$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{a \sqrt{5}}{2}$

Diện tích mặt cầu:

$S = 4 \pi R^2 = 4 \pi \left(\dfrac{a \sqrt{5}}{2}\right)^2 = 4 \pi \cdot \dfrac{5 a^2}{4} = 5 \pi a^2$

Đặt hệ trục tọa độ:

Chọn $A(0,0,0)$, $D(a,0,0)$.

Vì $\angle ADC = 90^\circ$ nên đặt $C(a,h,0)$ với $h > 0$.

Xét tam giác $ADC$:

Diện tích:
$S_{ADC} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot DC = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h$

Theo đề:
$S_{ADC} = \dfrac{3a^2}{2}$

⇒ $\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h = \dfrac{3a^2}{2} \Rightarrow h = 3a$

⇒ $C(a,3a,0)$

Kiểm tra:
$CD = 3a \ne a$ (không đúng đề)

⇒ suy ra cạnh vuông không phải $DC$ mà là chiều cao từ $C$ xuống $AD$ bằng $3a$.

Xét tam giác $ADC$:

$S_{ADC} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot h_C = \dfrac{3a^2}{2}$

⇒ $h_C = 3a$

Khi đó:
$AC = \sqrt{AD^2 + h_C^2} = \sqrt{a^2 + (3a)^2} = a\sqrt{10}$

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$:

$SC^2 = SA^2 + AC^2$

Góc giữa $SC$ và đáy bằng $60^\circ$:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SC}$

⇒ $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{SA}{SC}$
⇒ $SC = \dfrac{2}{\sqrt{3}} SA$

Thay vào:

$\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} SA\right)^2 = SA^2 + (a\sqrt{10})^2$

⇒ $\dfrac{4}{3} SA^2 = SA^2 + 10a^2$
⇒ $\dfrac{1}{3} SA^2 = 10a^2$
⇒ $SA^2 = 30a^2$

⇒ $SA = a\sqrt{30}$

Suy ra:

$SC = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \cdot a\sqrt{30} = 2a\sqrt{10}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

$R = \dfrac{SC}{2} = a\sqrt{10}$

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi (a\sqrt{10})^2 = 40\pi a^2$